Kezdőlap


Feladat:	C.911	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Márki Renáta
Füzet:	2008/április, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: C.911

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel mindkét kifejezést szorzat alakban:

\begin{matrix} n^{2} - 1 & = & (n + 1) (n - 1), \\ n^{3} + 1 & = & (n + 1) (n^{2} - n + 1) . \end{matrix}

Mivel 101 prímszám, ahhoz, hogy a szorzat osztható legyen vele, szükséges, hogy valamelyik tényezője 101-nek többszöröse legyen.
Legyen

n + 1 = k \cdot 101

, innen

n = k \cdot 101 - 1

, ahol

k \in N^{+}

. Mivel az

n + 1

tényező mindkét szorzatban előfordul,

n

ilyen választása esetén mindkét szám osztható lesz 101-gyel.
Ha 101 az

(n - 1)

-nek lenne osztója, akkor a második esetben

n^{2} - n + 1 = (n - 1) n + 1

miatt 101 nem lehetne a második kifejezésnek osztója.