Feladat: C.908 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Balassa Péter 
Füzet: 2008/április, 211 - 212. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/szeptember: C.908

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha kiszámoljuk, hogy hány esetben ül egymás mellett Ábel és Bendegúz, és ezen esetek számából kivonjuk azon lehetőségek számát, amikor rajtuk kívül még Zsuzsi és Anikó is egymás mellett ül, akkor megkapjuk a feladatban feltett kérdésre a választ.
Számoljuk ki először azoknak az eseteknek a számát, amikor Ábel és Bendegúz egymás mellett ül. Tekintsük őket egy embernek. Ekkor az egyik sorba 4, a másikba 5 ember ül. Hogy melyikben ülnek 4-en, arra 2 lehetőség van. Arra, hogy melyik 3 ember üljön Ábelékkel egy sorban, (83)=56 lehetőség van. Az egyes sorokban a lehetséges sorrendek száma 4!, illetve 5!, és Ábel és Bendegúz egymás között még helyet is cserélhet.
Ez 2⋅56⋅4!⋅5!⋅2=645120 lehetőség.
Most számoljuk ki azoknak az eseteknek a számát, amikor Ábeléken kívül még Zsuzsi és Anikó is együtt ül. Tekintsük őket is egy embernek.
Ha a két pár egy sorban ül, akkor a melléjük ülő ember kiválasztására (61)=6 lehetőség van. A két pár és ez az ember 3!⋅2⋅2=24 féle módon ülhetnek le a sorukba, hiszen mindkét pár tagjai egymással helyet cserélhetnek. A másik sorban ülő 5 ember 5!-féleképp ülhet egymás mellé. Végül, hogy melyik sorban üljenek a párok, azt is 2-féleképpen lehet megválasztani.
Ez 6⋅24⋅5!⋅2=34560 lehetőség.
Ha a két pár külön sorban ül, akkor 2-féleképp lehet kiválasztani Ábelék sorát. Ábelékhez még kell választani 3 embert, erre (63)=20 lehetőség van. Mindkét sorban 4! a három ember és a pár lehetséges sorrendjeinek a száma. Mindkét pár tagjai egymással helyet cserélhetnek.
Ez 2⋅20⋅4!⋅4!⋅2⋅2=92160 lehetőség.
Azoknak az eseteknek a száma, mikor Ábeléken kívül még Zsuzsi és Anikó is együtt ül, 34560+92160=126720.
Tehát

645120-126720=518400
a lehetséges elhelyezkedések száma.
 
II. megoldás. A feladatot három esetre bontjuk.
I. eset: Ábel, Bendegúz, Zsuzsi és Anikó ugyanabban a sorban ül. Ebben a sorban Ábel és Bendegúz ülhetnek a sor szélén, ezen lehetőségek száma 2⋅2⋅2⋅6=48, hiszen a sornak két széle van, Ábel és Bendegúz egymás között helyet cserélhetnek, Zsuzsi és Anikó a fennmaradó három szomszédos helyen kétféleképpen foglalhat helyet, és a fennmaradó helyre pedig a többi hat ember valamelyike ül. Ha pedig Ábel és Bendegúz nem a sor szélén ül, akkor a lehetőségek száma hasonlóan 2⋅2⋅4⋅6=96.
A másik sorban a többiek elhelyezkedésére 5! lehetőség van.
Az I. esetben tehát 2⋅(48⋅5!+96⋅5!)=34560 ülésrend lehetséges, hiszen Ábelék mindkét sorban ülhetnek.
II. eset: Zsuzsi és Anikó egy sorban ül, de nem ugyanabban a sorban, amelyikben Ábel és Bendegúz. Ekkor Ábel és Bendegúz 4⋅2=8-féleképpen ülhet le, melléjük 6⋅5⋅4=120-féleképp ülhet le három ember, ami 8⋅120=960 lehetőség. A másik sorban Zsuzsi és Anikó 3+2+2+2+3=12-féleképpen ülhet le, a maradék 3 ember pedig 6-féleképpen, ami 72 lehetőség.
A II. esetben tehát 2⋅(960⋅72)=138240 ülésrend lehetséges.
III. eset: Zsuzsi és Anikó közül pontosan az egyik ül Ábelék sorában. Hogy melyikük, arra 2 lehetőség van. Ebben a sorban Ábelék 4 helyre ülhetnek, egymás között helyet cserélhetnek, melléjük Zsuzsi vagy Anikó 3 helyre ülhet, a többi 6 ember pedig még 6⋅5=30-féleképpen ülhet le. Ez 2⋅4⋅2⋅3⋅6⋅5=1440 lehetőség. A másik sorba a többiek 5!=120-féleképpen ülhetnek le.
A III. esetben tehát 2⋅(1440⋅120)=345600 ülésrend lehetséges.
Összesen 34560+138240+345600=518400-féleképpen helyezkedhetnek el.