Kezdőlap


Feladat:	C.906	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Zsupanek Alexandra
Füzet:	2008/április, 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: C.906

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög oldalai által alkotott számtani sorozat különbsége legyen $d$ , a háromszög oldalai pedig: $B C = a$ , $A C = a - d$ és $A B = a + d$ , ahol $d > 0$ .

Pitagorasz tétele szerint:

\begin{matrix} {(a - d)}^{2} + a^{2} & = {(a + d)}^{2}, \\ a^{2} - 2 a d + d^{2} + a^{2} & = a^{2} + 2 a d + d^{2}, \\ a^{2} - 4 a d & = 0, \\ a (a - 4 d) & = 0. \end{matrix}

Ez csak akkor lehetséges, ha

a = 0

vagy ha

a - 4 d = 0

.
Az

a

nem lehet 0, hiszen ez a háromszög egyik oldalának a hossza; így

a = 4 d

. Ezért az oldalak hossza:

B C = a = 4 d

A C = a - d = 3 d

és

A B = a + d = 5 d

.
Tehát az oldalak aránya:

A C : B C : A B = 3 : 4 : 5

.
A beírt kör sugara legyen

r

, továbbá

\frac{a + b + c}{2} = s

. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen:

\begin{matrix} t = r \cdot s = r \cdot \frac{3 d + 4 d + 5 d}{2} = 6 r d, valamint t = \frac{3 d \cdot 4 d}{2} = 6 d^{2} . \end{matrix}

Mivel

6 r d = 6 d^{2}

, azért

r = d

.
Ezzel bebizonyítottuk, hogy a beírt kör sugara a számtani sorozat különbségével egyenlő, továbbá az oldalak aránya

3 : 4 : 5