Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/március, 175 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbtükör, Síktükör, Gyűjtőlencse, Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 2007. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Első ránézésre is látszik, hogy ha helyettesíthető ez a lencse + síktükör együttes egyetlen homorú tükörrel, akkor annak geometriai középpontja ott lesz, ahol most a lencse egyik, $F_{1}$ fókuszpontja van. Ha ugyanis ebbe a fókuszba helyezünk egy világító, pontszerű fényforrást, akkor az innen kiinduló fénysugarak a lencsén való áthaladás után az optikai tengellyel párhuzamosan haladnak, merőlegesen érik el a tükör síkját, utána önmagukba verődnek vissza. A síktükörről visszavert sugarak újra elérik a lencsét s azon megtörve a lencse előbbi, $F_{1}$ fókuszpontja felé tartanak. Gömbtükör esetén pedig a gömb $O_{tükör}$ középpontjából kiinduló fénysugarak verődnek úgy vissza, hogy ugyanezen pont felé tartanak.
Könnyen megszerkeszthetjük annak a tárgynak a képét, amelyet a lencse fókuszpontjába állítottunk (10. ábra).

10. ábra

Fordított állású, a tárggyal megegyező nagyságú, valódi kép keletkezik a tárgy ,,helyén''.

F_{1} = O_{tükör}

tehát, és ez független attól, milyen

ℓ

távolságra van a síktükör a lencsétől.

a)

Anna 20 cm-re helyezte el a tükröt az

f = 30

cm fókusztávolságú lencse mögé. Hogyan határoznánk meg Anna helyében legegyszerűbben a leképező rendszer

F^{*}

fókuszpontjának a helyét? Úgy, hogy az optikai tengellyel párhuzamos fénynyalábot bocsátanánk a lencsére, és megnéznénk, hogy mi a ,,tartópontja'' annak a sugárnyalábnak, amely ebből a párhuzamos nyalábból keletkezik, miután megtörik a lencsén, visszaverődik a síktükrön, majd újta áthalad a lencsén (11. ábra). Biztosak lehetünk abban, hogy

F^{*}

helye már nemcsak

f

-től, hanem

ℓ

-től is függeni fog.

11. ábra

Kövessük Anna gondolatmenetét!
A belépő parallelnyaláb a lencse mögött 30 cm-re lévő

F_{2}

fókuszpont felé tart, miután megtörik a lencsén. Ráesik a lencsétől 20 cm-re lévő síktükörre, s mivel a tükör mögött 10 cm-re lévő

F_{2}

pont felé tartott, ezért a tükörről visszaverődve a tükör előtt 10 cm-re lévő ponton fog áthaladni. Ez a pont

t = 10

cm-re van a lencsétől; keressük meg egy ilyen távol lévő tárgy képét!

\begin{matrix} \frac{1}{10} + \frac{1}{k} = \frac{1}{30}, \end{matrix}

amiből

k = - 15

cm adódik. Látszólagos kép keletkezik, ez azt jelenti, hogy a lencséből olyan sugárnyaláb fog kilépni, amelynek ,,tartópontja'' egy, a lencse mögött 15 cm-re levő pont. Ez tehát a leképező rendszer

F^{*}

fókuszpontja!
Annának tehát a helyettesítő homorú tükör egy újabb jellemző pontját sikerült megtalálnia. Mivel a homorú tükör fókuszpontja éppen a gömb sugarának közepén van, ezért a fókusztávolságot úgy is megkaphatja, hogy az

F^{*}

fókuszpont és a korábban már megtalált

O_{tükör}

geometriai középpont távolságát határozza meg:

\begin{matrix} f^{*} = F^{*} O_{tükör} = 30 cm + 15 cm = 45 cm . \end{matrix}

Hová, a lencse hűlt helyétől mekkora

x

távolságra kell tenni ezt a homorú gömbtükröt? Mivel

F^{*}

15 cm-re van attól a ponttól, ahol a lencse állt, ezért a keresett távolság (12. ábra):

\begin{matrix} x = 15 cm + 45 cm = 60 cm . \end{matrix}

12. ábra

b)

Balázs is követi Anna gondolatmenetét, de paraméteresen határozza meg a kérdezett mennyiségeket.
Az

F^{*}

fókuszpont helyének meghatározása:

\begin{matrix} t = ℓ - (f - ℓ) = 2 ℓ - f, \\ \frac{1}{2 ℓ - f} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f}, ahonnan k = \frac{(2 ℓ - f) f}{2 ℓ - 2 f} < 0. \end{matrix}

A keresett tükör fókusztávolsága:

\begin{matrix} f^{*} = f + | k | = f - k = ... = \frac{f^{2}}{2 (f - ℓ)} > 0. \end{matrix}

A homorú tükör távolsága a lencse helyétől:

\begin{matrix} x = 2 f^{*} - f = ... = \frac{f ℓ}{f - ℓ} > 0. \end{matrix}

c)

Cecília felismerése:

f > ℓ

kell legyen, mert a feladatban azt kellett megvizsgálni, hogy homorú gömbtükörrel lehet-e helyettesíteni a (lencse + síktükör) leképező rendszert. Ezen kívül azt is Cecíliának kell észrevennie, hogy Anna és Balázs megoldása csak a tárgytér meghatározott tartományára érvényes. Jelen esetben azokra a tárgypontokra, amelyek a lencsének a síktükörrel ellentétes oldalán helyezkednek el. Dehát ez természetesen teljesül, ha valódi tárgyat képez le az optikai rendszer.

Megjegyzés. A lencse + síktükör rendszer leképezése úgy is vizsgálható, hogy a lencsének és a lencse tükörképének, mint két lencséből álló lencserendszernek a leképezését követjük végig, majd a kapott képet visszatükrözzük a síktükörrel. Ezért is meglepő, hogy a leképezés végülis egyetlen homorú tükörrel helyettesíthető, hiszen egymástól távol elhelyezkedő két lencse leképezése sohase helyettesíthető egyetlen lencse adta képpel. A vékonylencse síkja helyett két fősík jelenik meg, s csak az ezektől mért

t

k

és

f

távolságokra lehet felírni a leképezési törvényt.
Nos, a mi esetünkben a két lencse fókusztávolsága egyenlő, ilyenkor a fősíkok is szimmetrikusan helyezkednek el, s amikor a szerkesztés végén a képet (és a képoldali fősíkot is) visszatükrözzük, a két fősík egybe fog esni! Az ide, a fősíkok közös helyére elhelyezett gömbtükörrel ekkor már helyettesíthető lesz a lencséből és a síktükörből álló rendszer.
A fősíkokkal történő leképezés nem középiskolai, hanem főiskolai, egyetemi tananyag; ennek ellenére volt olyan versenyző, aki ezt a gondolatmenetet próbálta meg követni. Hasonlóképpen egyetemi tananyag az úgynevezett ,,mátrixoptika'' is, amellyel Pálfalvi László mutatja meg e feladat megoldását a 179. oldalon.