Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Konczer József , Kónya Gábor , Szolnoki Lénárd , Werner Miklós
Füzet:	2008/március, 172 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb váltóáram, Kölcsönös indukció, Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 2007. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Három dolgot kell egymás után észrevennünk, hogy viszonylag gyorsan eljussunk a helyes válaszhoz.
1. Mivel a tekercs ohmikus ellenállása elhanyagolható, ezért $U_{A C} \approx \frac{U}{2}$ kell legyen, hogy ne folyjék a generátoron végtelen nagy áram.
2. Mivel a fluxusváltozás mértéke a tekercs különböző részein ugyanakkora, ezért mindkét féltekercsen ugyanakkora az indukált feszültség, tehát $U_{A C} = U_{C B}$ .
3. Mivel a lámpa párhuzamosan van kapcsolva a generátor plusz a tekercs jobb oldali felével, ezért

\begin{matrix} U_{lámpa} = U_{gen.} + U_{C B} = \frac{U}{2} + \frac{U}{2}, tehát U_{lámpa} = U . \end{matrix}

Így a lámpa az ,,üzemi'' feszültséget kapja, ezért jól ég!
Az áramirányok meghatározásához ‐ Werner Miklós ötlete alapján ‐ rajzoljuk át a megadott kapcsolást a következő módon: képzeljük el, hogy a tekercs bal oldali részét alkotó huzalt hosszában kettévágjuk, s így ezen az oldalon két, egymás mellett futó tekercshez jutunk (5. ábra).

5. ábra

Kaptunk egy

A C

tekercset, amire a generátor feszültségét kapcsoljuk, és egy

A B

tekercset, amire a lámpát kötöttük. Ez bizony egy transzformátor! A primer menetszám

\frac{N}{2}

, a primer áram (a feladatban alkalmazott jelölés szerint)

I

. A szekunder menetszám

N

, tehát a szekunder áram

\frac{I}{2}

lesz.

C

-től

B

felé

\frac{I}{2}

C

-től

A

felé ugyancsak

\frac{I}{2}

(I - \frac{I}{2} = \frac{I}{2})

áram folyik (6. ábra).

6. ábra

Megjegyzések. Bemutatunk további három megoldást, amellyel a versenyzők eljutottak a helyes válaszhoz. Mindegyikük ,,ráérzett'' a feladatban rejlő transzformátorra (ténylegesen autotranszformátornak nevezik a feladatban megadott kapcsolást), és helyesen alkalmazták az általuk ismert összefüggéseket. Nem részletezzük, csak vázoljuk a megoldásnál követett gondolatmeneteket.

7. ábra

1. Konczer József a 7. ábrán látható módon rajzolta át a kapcsolást. Figyelembe véve a tekercsrészek közötti szoros csatolást, a kölcsönös indukciós együttható:

M = \sqrt[]{L_{1} L_{2}}

. Az indukált feszültségek:

\begin{matrix} U_{1} = - L_{1} \frac{Δ I_{1}}{Δ t} + M \frac{Δ I_{2}}{Δ t}, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} U_{2} = - L_{2} \frac{Δ I_{2}}{Δ t} + M \frac{Δ I_{1}}{Δ t} . \end{matrix}

Mivel most

L_{1} = L_{2} = L = M

, ezért

\begin{matrix} U_{1} + U_{2} = 0. \end{matrix}

A generátor feszültsége:

\begin{matrix} \frac{U}{2} = - U_{2} = I_{1} R - U_{1}, \end{matrix}

ebből pedig

I_{1} R = U

következik.

8. ábra

2. Kónya Gábor a 8. ábrán látható módon rajzolta át a kapcsolást. A szinuszos váltakozó áram tárgyalására kidolgozott komplex formalizmus ismeretében ő az alábbi egyenleteket tudta felírni:

\begin{matrix} U_{1} = j ω L (I_{1} - I_{2}), \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} U_{2} = j ω L (I_{2} - I_{1}) . \end{matrix}

ezekből következik, hogy

U_{2} = - U_{1}

. Mivel

\begin{matrix} U_{1} = U_{2} + I_{2} R és U_{1} = \frac{U}{2}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} \frac{U}{2} = - \frac{U}{2} + I_{2} R, vagyis U = I_{2} R \end{matrix}

kell legyen. (

j

-vel az ún. komplex egységgyököt,

\sqrt[]{- 1}

-et jelöltük.)

3. Szolnoki Lénárd úgy rajzolta át a kapcsolást (9. ábra), hogy még jobban emlékeztessen egy veszteségmentes, zárt vasmagú transzformátorra. Mivel a transzformátor szekunder oldalán ellentétes ,,irányú'' a feszültség, mint a primer oldalon, ezért a felső hurokra felírva a második Kirchhoff-törvényt, kapjuk:

\begin{matrix} \frac{U}{2} + \frac{U}{2} - U^{*} = 0, tehát U^{*} = U . \end{matrix}

9. ábra

Mindhárom megoldó már a saját rajzán helyesen jelölte be az áramok irányát.