Kezdőlap


Feladat:	2007. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/március, 169 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó erő, Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 2007. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a két üveglemez elég kis szöget zár be egymással, a köztük felemelkedő víz felületét jó közelítéssel vehetjük félhenger alakúnak. Így felírhatjuk (a félhenger sugarát $r$ -rel jelölve):

\begin{matrix} φ \approx tg φ = \frac{r}{h - H} . \end{matrix}

Mechanikai egyensúly esetén a víz felületi feszültségéből adódó görbületi nyomásnak és a felemelkedett vízoszlop

H

magasságának megfelelő hidrosztatikai nyomásnak meg kell egyeznie, vagyis

\begin{matrix} \frac{σ}{r} = H ϱ g . \end{matrix}

(Azért nem

\frac{2 σ}{r}

a görbületi nyomás, mert a felszín nem gömb, hanem henger alakú.)
Amíg

\frac{σ}{r} > H ϱ g

, addig a folyadékszint még emelkedik az üveglapok között. Ha pedig már túlfutott és

H ϱ g > \frac{σ}{r}

lett, akkor a vízszint csökkenni kezd. A kialakuló állapot stabil egyensúlyi állapot kell, hogy legyen.
Vizsgáljuk meg, milyen

H

értékre teljesül a

\begin{matrix} \frac{σ}{(h - H) φ} = H ϱ g \end{matrix}

egyensúlyi feltétel! Átalakítva és az ismert adatokat behelyettesítve

\begin{matrix} H (h - H) = \frac{σ}{ϱ g φ} = 1, 4 \cdot 10^{- 4} m^{2} = 140 {mm}^{2} . \end{matrix}

A magasságokat mm-ben mérve az alábbi másodfokú egyenletet kell megoldanunk:

\begin{matrix} H^{2} - h H + 140 = 0. \end{matrix}

Ennek

h = 30

mm esetén két megoldása lesz:

H_{1} = 5, 8

mm és

H_{2} = 24, 2

mm. E kettő közül azonban csak az egyik, a kisebb érték a stabil, a másik instabil egyensúlyi állapotot határoz meg! A stabilitási viszonyokat is megvizsgálhatjuk, ha

H

függvényében ábrázoljuk a

ϱ g H

és a

\frac{σ}{(h - H) φ}

kifejezéseket (2. ábra). Attól függően, hogy melyik kifejezés a nagyobb, a víz felszíne a bejelölt nyilacskáknak megfelelően fel- vagy lefelé mozog. Látható, hogy

H_{1}

a stabil,

H_{2}

pedig az instabil megoldás.

2. ábra

A fenti ábra addig helyes, amíg

\begin{matrix} h > \sqrt[]{4 \cdot 140} = 23, 7 mm, \end{matrix}

ekkor pozitív ugyanis a fenti másodfokú egyenlet diszkriminánsa.
De mi történik akkor, amikor az üveglapok lassú leengedése közben elérjük a

h = 23, 7

mm értéket, és még tovább süllyesztjük az üveglapokat?

h = 23, 7

mm esetén

H = \frac{h}{2}

magasan áll a vízszint, majd a következő pillanatban (amikor a 2. ábrán látható hiperbolának és az egyenesnek már nem lesz metszéspontja, tehát a görbületi nyomás minden helyzetben nagyobb lesz, mint a hidrosztatikai nyomás) a víz emelkedni kezd és egészen a két üveglap érintkezéséig felszalad! Ettől kezdve

H = h

lesz végig.
Hogyan változik

H

a fokozatosan csökkenő

h

függvényében? A választ a 3. ábra mutatja, a kérdéses helyzetekben pedig a numerikus értékek:

a)

h = 30

mm esetén

H = 5, 8

mm;

b)

h = 15

mm esetén

H = 15

mm.

3. ábra

Megjegyzések: A feladatra adott hibás megoldások közül három tipikusat érdemes külön is megemlíteni.
1. Többen a körkeresztmetszetű, függőleges hajszálcsőben felemelkedő vízre érvényes képletet próbálták meg itt alkalmazni. (Ekkor jelenik meg a

\frac{2 σ}{r}

görbületi nyomás!) Nem kaphattak helyes eredményt.
2. Sokan a felemelkedett vízmennyiség súlyát tették egyenlővé a felületi feszültségből származó, felfelé húzó erővel. Ez azért hibás, mert a ferde, nem függőleges üveglemezek által kifejtett nyomóerőnek is van függőleges összetevője, amit az erőegyensúlynál figyelembe kellene venni. A probléma hasonló ahhoz, ami a jól ismert hidrosztatikai paradoxonnál jelentkezik.
3. Néhányan energetikailag próbálták megoldani a feladatot úgy, hogy a felemelkedett víz helyzeti energiáját tették egyenlővé a felületi feszültség

σ \cdot Δ A

munkájával. Ez ugyanúgy hibás, mintha egy rugóra függesztett test egyensúlyi helyzetének meghatározásához a nehézségi erő és a rugóerő munkájának egyenlőségét írnánk fel. Jól tudjuk, hogy ez az egyenlőség csak a rugón rezgő test mozgásának szélső helyzeteire teljesül, ahol éppenhogy nincs a test egyensúlyban. Egyensúlyi állapotban a mozgási energia nem hanyagolható el, sőt, éppen akkor maximális!