Kezdőlap


Feladat:	B.4021	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Keresztfalvi Tibor
Füzet:	2008/március, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: B.4021

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenségben legyen $a_{1} = b_{1} + 1$ , $a_{2} = b_{2} + 1$ , $...$ , $a_{n} = b_{n} + 1$ . Ekkor a $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ számok mindegyike nemnegatív, és az egyenlőtlenség, amit igazolnunk kell, a következő:

\begin{matrix} (b_{1} + 2) (b_{2} + 2) ... (b_{n} + 2) \geq 2^{n - 1} (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} + 2) . \end{matrix}

A bal oldali szorzatban

n

darab tényező szerepel. Osszunk

2^{n}

-nel, ekkor azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \prod_{i = 1}^{n} (c_{i} + 1) \geq 1 + \sum_{i = 1}^{n} c_{i}, \end{matrix}

ahol

\frac{b_{i}}{2} = c_{i}

(

i = 1,2, ..., n

). Ez nyilván teljesül, hiszen a bal oldali szorzatban szerepelni fog

1 + \sum_{i = 1}^{n} c_{i}

, és még azon kívül más tagok is (a

c_{i}

számokból képezett, legalább két tényezőből álló szorzatok), amelyek nemnegatívak. Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, az első egyenlőtlenség is igaz. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha

c_{i} = 0

(minden

i = 1,2, ..., n

-re), azaz ha

a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 1