Kezdőlap


Feladat:	B.4019	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Iván Dávid
Füzet:	2008/március, 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Hatványösszeg, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: B.4019

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A bal oldalon álló összeget növeljük a minden tagjára érvényes

\begin{matrix} \frac{1}{{(2 k + 1)}^{2}} = \frac{1}{4 k^{2} + 4 k + 1} < \frac{1}{4 k^{2} + 4 k} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{4} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) \end{matrix}

egyenlőtlenség felhasználásával. Eszerint az összeg kisebb, mint

\begin{matrix} \frac{1}{4} (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{n + 1}) < \frac{1}{4} . \end{matrix}

Megjegyzés. A négyzetszámok reciprokösszege Euler híres képlete szerint:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} \end{matrix}

(l. Simonovits András cikkét lapunk 2007. novemberi számában). Ebből egyszerűen belátható, hogy a feladathoz kapcsolódó végtelen összeg (sor) pontos értéke ‐ vagyis az

\frac{1}{4}

helyett kapható legjobb felső becslés:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k + 1)}^{2}} = \frac{π^{2}}{8} - 1 \approx 0, 233 701. \end{matrix}