A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A 100 valós szám mindegyike nem lehet negatív, mivel ekkor összegük is negatív lenne, nem pedig 0. Ha a 100 valós szám között 99 negatív szám van, akkor a 100. szám biztosan pozitív, hiszen csak így lehet a számok összege 0. Ekkor a kéttagú összegek között pontosan 99 pozitív van, mégpedig azok, amelyeknek az egyik tagja a pozitív szám. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a 100 szám között a negatívok számát változtatva nem kaphatunk 99-nél kevesebb kéttagú nemnegatív összeget. Ha a 100 szám között db nemnegatív szám van, akkor ezek páronkénti összeadásából darab (szükségképpen nemnegatív) összeg adódik. Ha (), akkor ez a szám legalább . Így elég a esettel foglalkozni. Jelöljük a nemnegatív számokat -val, a negatívokat pedig -val; miatt kevesebb nemnegatív szám van, mint negatív. Azokat a kéttagú összegeket, amelyek egy nemnegatív és egy negatív számból állnak, rendezzük egy -as táblázatba az alábbi módon: | |
Ha az azonos oszlopban álló kéttagú összegeket összeadjuk, akkor megkapjuk a nemnegatív és a negatív számok egy részének az összegét. Minden oszlopbeli összeg pozitív, hiszen a 100 szám összege 0, amiből db negatív tagot elhagyva a visszamaradó összeg pozitív lesz. Így minden oszlopban van legalább egy pozitív kéttagú összeg, vagyis összesen legalább | | nemnegatív összegünk van. A , feltétel esetén a kifejezés vagy esetén veszi fel a minimumát, mindkét helyen a minimum értéke 99. Tehát legalább 99 olyan pár választható ki a 100 számból, amelyben a számok összege nemnegatív.
A továbbiakban arra adunk többféle bizonyítást, hogy a nemnegatív összeget adó párok száma legalább 99.
II. megoldás. Jelöljük a 100 számot -cel. Soroljuk őket 99 féle módon 50‐50 párba úgy, hogy az egyes besorolásokban lévő párok mindegyike különböző legyen. Ha egy besorolásban az egyes párokban szereplő számok összegét összeadjuk, akkor 0-t kapunk, vagyis biztos van egy számpár ebben a besorolásban, amiben a számok összege nemnegatív. Így mind a 99 besorolásban van egy ilyen pár, és mivel minden pár különböző, azért van legalább 99 ilyen számpár. A következőkben mutatunk egy konstrukciót a 99 különböző besorolásra, melyben minden pár csak egyszer fordul elő.
Az első besorolást az ábra mutatja, az egy oszlopban lévő számok tartoznak egy párba. A következő besorolást úgy kapjuk, hogy az egyes számokat a nyilak mentén eltoljuk eggyel. Minden besorolásból ugyanazen a módon kapjuk a következő besorolást. Egyértelmű, hogy -nak mind a 99 besorolásban más párja lesz (, , , , , , , végül ). Igaz ez -re is, melynek párjai: (, , , , , , , , , , , ); illetve igaz lenne akkor is, ha más elem indulna az pozíciójáról. Mivel pedig a besorolások 99-es ciklusonként ismétlődnek, azért mindegy, hogy melyik besorolást tekintjük elsőnek. Tehát bármely elem indulhatna az pozíciójáról. Vagyis minden elemre igaz, hogy mind a 99 besorolásban más párt kap. Tehát legalább 99 olyan pár választható ki, amelyben a számok összege nemnegatív.
Megjegyzés. Néhányan a KöMaL 2006/9. számában megjelent cikkre hivatkoztak a 99-féle párosítás megalkotásakor. (A feladat ugyanabban a számban került kitűzésre.)
III. megoldás. Legyen a 100 adott szám egy sorrendje úgy, hogy . Tekintsük az alábbi összegeket: , , , , , . A fenti 50 kéttagú összeg összege egyben az összes szám összege, vagyis 0. Tehát a kéttagú összegek között van nemnegatív. Legyen () egy ilyen összeg. Azok a kéttagú összegek, melyek egyik tagjának indexe legfeljebb , másik tagjának indexe pedig legfeljebbb , nagyobbak vagy egyenlőek, mint . Így ezek az összegek szintén nemnegatívok. Számoljuk meg ezeket a számpárokat. Az első tag -féle, a második tag -féle lehet. Nem kell számolnunk azokat a párokat, amelyekben ugyanazt a számot választanánk kétszer, és ‐ mivel egyébként kétszer vennénk őket számításba ‐ le kell vonnunk azon pároknak a számát, amelyek mindkét tagjának indexe legfeljebb . A megfelelő párok száma tehát | | Ennek a kifejezésnek az értéke esetén 99, esetén pedig miatt legalább 100. Ezek szerint a nemnegatív összegű számpárok száma legalább 99. Kiss György: Hogyan szervezzünk körmérkőzéses focibajnokságot? KöMaL, 2006/9., 514‐525. |