Megoldás. Jelölje $K$ az $\left\{1;2;4;8;16\right\}$ halmazt. Mivel a 2-es számrendszerben a $0$-tól $31$-ig terjedő természetes számok mindegyike felírható egyértelműen egy legfeljebb ötjegyű számként, a $K$ összesen öt elemének felhasználásával képezett (legfeljebb öttagú) összegként éppen a 32-vel való osztási maradékok állnak elő, mégpedig egyértelműen.
Legyen $M$ a $H$ halmaz $K$-ba nem tartozó elemeinek a halmaza. Az $M$ minden $X$ részhalmazához a fentiek szerint létezik pontosan egy olyan $Y$ részhalmaza $K$-nak, hogy az $X$ és $Y$ halmazok egyesítésének elemeit összeadva az összeg 32-vel való osztási maradéka előre megadott, esetünkben 7 legyen: ha ugyanis az $X$ elemeinek összege $t$, akkor az az $Y$ lesz megfelelő, amelynek elemeit összeadva éppen $\left(7-t\right)$-nek a 32-vel való (nemnegatív) osztási maradékát kapjuk. A $D$ tehát megegyezik az $M$ összes részhalmazainak a számával, $2^{|M|}=2^{2001}$-nel. Az $S$ meghatározása hasonló $D$ kiszámításához: az iménti $K$ helyett itt a $K^{*}=\left\{1;2;4;8\right\}$ halmaz elemeiből képezett összegekkel tudunk tetszőleges, 16-tal való osztási maradékot egyértelműen előállítani; ezért $S$ értéke az $M^{*}=\left\{1\le x\le 2006\mid x\ne \mathrm{1,2,4,8}\right\}$ részhalmazainak száma, $2^{|M^{*}|}=2^{2002}=2D$.