Kezdőlap


Feladat:	B.3988	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Korom-Vellás Judit , Peregi Tamás
Füzet:	2007/szeptember, 341 - 342. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Paralelogrammák, Konvex sokszögek, Vektorok felbontása összetevőkre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/március: B.3988

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $F$ a $B E$ szakasz felezőpontja. Az $F F_{4}$ szakasz az $E B D$ háromszög középvonala, így párhuzamos $B D$ -vel és fele olyan hosszú. Hasonlóan $F_{2} F_{3}$ a $C B D$ háromszög középvonala, így ugyancsak párhuzamos $B D$ -vel és fele olyan hosszú.

Tehát

F F_{4}

és

F_{2} F_{3}

párhuzamosak és egyenlőek egymással, így

F F_{2} F_{3} F_{4}

paralelogramma, azaz

F = P

. A

P F_{1}

szakasz az

A B E

háromszög középvonala, így párhuzamos

A E

-vel és fele olyan hosszú, azaz

P F_{1}

párhuzamos és egyenlő

F_{5} A

-val. Tehát a

P F_{5} A F_{1}

négyszög paralelogramma.

II. megoldás. Irányítsunk a

P

pontból vektorokat az ötszög csúcsaihoz, legyenek ezek rendre

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

\vec{d}

\vec{e}

. Mivel

P F_{2} F_{3} F_{4}

paralelogramma,

\vec{P F_{3}} = \vec{P F_{2}} + \vec{P F_{4}}

, vagyis

\begin{matrix} \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{e}}{2}, \end{matrix}

amiből

\vec{b} + \vec{e} = 0

. A bizonyítandó állítás:

\vec{a} = \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{5}}

, vagyis

\begin{matrix} \vec{a} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{a} + \vec{e}}{2} = \vec{a} + \frac{\vec{b} + \vec{e}}{2}, \end{matrix}

\vec{b} + \vec{e} = 0

, így az állítás igaz, tehát a

P F_{5} A F_{1}

négyszög paralelogramma.