Kezdőlap


Feladat:	B.3980	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Árvay Anna
Füzet:	2007/szeptember, 340 - 341. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkagúlák, Háromszög alapú hasábok, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: B.3980

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vetítsük merőlegesen a fedőlapot az alaplapra. A vetített lap és vetülete, valamint a vetítősugarak által meghatározott téglatest térfogata: $V_{1} = c d m$ .

E téglatest oldallapjai, mint síkok, a poliédert részekre bontják. Kapunk 4 db egybevágó gúlát, melyek térfogata:

\begin{matrix} V_{2} = \frac{T m}{3} = \frac{(\frac{b - d}{2}) (\frac{a - c}{2}) m}{3} = \frac{(b - d) (a - c) m}{12}, \end{matrix}

ezenkívül keletkezik két-két egybevágó, háromszög alapú hasáb; ezek térfogata:

\begin{matrix} V_{3} = \frac{(\frac{b - d}{2}) m}{2} c = \frac{(b - d) m}{4} c és V_{4} = \frac{(\frac{a - c}{2}) m}{2} d = \frac{(a - c) m}{4} d . \end{matrix}

Így a poliéder térfogata:

\begin{matrix} V = V_{1} + 4 V_{2} + 2 V_{3} + 2 V_{4} = c m d + 4 \frac{(b - d) (a - c) m}{12} + 2 \frac{(b - d) m}{4} c + 2 \cdot \frac{(a - c) m}{4} d . \end{matrix}

Kiemelve

\frac{m}{6}

-ot és elvégezve a műveleteket:

\begin{matrix} V & = \frac{m}{6} [6 c d + 2 (b - d) (a - c) + 3 (b - d) c + 3 (a - c) d] = \\ = \frac{m}{6} [6 c d + 2 b a + 2 d c - 2 b c - 2 a d + 3 b c - 3 d c + 3 a d - 3 c d] = \\ = \frac{m}{6} [2 a b + b c + 2 c d + a d] . \end{matrix}

A zárójelen belül álló kifejezésért szorzattá alakítva:

\begin{matrix} V = \frac{m}{6} [(2 a + c) b + (2 c + a) d] . \end{matrix}

Tehát az adott képlet valóban megadja a poliéder térfogatát.