A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az ismeretlenek között nem lehetnek egyenlőek, mert bármely kettő egyenlősége esetén az egyik ismeretlent helyettesítve és kiküszöbölve az egyenletekből ellentmondásra jutunk. Például esetén (1) szerint , amit (2)-be, illetve (3)-ba helyettesítve -re két olyan másodfokú egyenletet kapunk, amelyek bal oldala azonos, a jobb oldalon viszont 5, illetve 3 áll. Így megszorozhatjuk az egyenleteket rendre -nal, -vel, -szel; a két szám köbének különbségére ismert azonosság révén az
egyenletekhez jutunk. Ezeket összeadva és -et kifejezve: értékét az (1)-es egyenletbe helyettesítve: , amiből Az (5) egyenlet 5-szöröséből kivonva a (2) egyenlet 2-szeresét és a kapott egyenletet 9-cel osztva adódik. Az egyenletet -ra megoldva: amit a (4)-es egyenletbe helyettesítve: | | (7) | ahol biztosan negatív, így az és értékekkel folytatva az egyenlet megoldását, ezeket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, amiből összevonás után: ; mivel pozitív szám, adódik. A (6) és (7) egyenleteket négyzetre emelve és értékét behelyettesítve, valamint figyelembe véve, hogy és is csak pozitív számok lehetnek, az megoldásokat kapjuk. A kapott gyökök kielégítik az egyenletet. Az , és értékének ismeretében az (1), (2) és (3) egyenletek összegét képezve: , amiből
Tehát .
II. megoldás. A keresett értéket anélkül is megkaphatjuk, hogy megoldanánk az egyenletrendszert. Vegyük észre, hogy az adott egyenletek a koszinusztételre emlékeztetnek. Ebből kiindulva a feladatnak geometriai értelmezést adhatunk. Tegyük fel, hogy van az egyenletrendszernek pozitív számokból álló megoldása és legyen ez , , . Vegyünk fel a síkban egy pontot és az , , pontokat úgy, hogy , , , legyen.
Ekkor az , , szakaszok hossza a koszinusztételből és az egyenletrendszerből meghatározható:
Tehát egy , , oldalú háromszög, így Pitagorasz tételének megfordításából adódóan derékszögű. Számítsuk ki az háromszög területét kétféleképpen: mivel derékszögű, a területe egyrészt a befogói szorzatának a fele, másrészt az , , háromszögek területének összege.
tehát | |
Azt kaptuk tehát, hogy ha van az egyenletrendszernek pozitív számokból álló megoldása, akkor erre . Meg kell vizsgálnunk még, hogy van-e az egyenletrendszernek pozitív számokból álló megoldása. Gondolatmenetünk alapján jól látható, hogy a , , oldalú derékszögű háromszög izogonális pontját a csúcsokkal összekötő szakaszok hossza megoldása az egyenletrendszernek. |