Kezdőlap


Feladat:	B.3936	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kunos Ádám
Füzet:	2007/szeptember, 336 - 337. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: B.3936, 1994/március: F.3008, 1994/március: N.25, 1994/március: F.3008 Feladatok megoldásai: 1995/január: N.25

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Nyilván mindhárom számnak pozitívnak kell lennie. Legyen például $a \leq b \leq c$ . Ekkor minden $n$ természetes számra a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele $a^{n} + b^{n} > c^{n}$ . Ha $b < c$ teljesülne, akkor elegendően nagy $n$ -re

\begin{matrix} {(\frac{a}{c})}^{n} \leq {(\frac{b}{c})}^{n} < \frac{1}{2} \end{matrix}

lenne, ugyanis ekkor

\frac{a}{c} \leq \frac{b}{c} < 1

. De ebből

\begin{matrix} a^{n} + b^{n} < \frac{c^{n}}{2} + \frac{c^{n}}{2} = c^{n} \end{matrix}

következne, ami ellentmond a szerkeszthetőségi feltételnek. Tehát szükségképpen

b = c

. Ha viszont

0 < a \leq b = c

, akkor

a^{n} + b^{n} > c^{n}

nyilvánvalóan minden

n

természetes számra teljesül. Tehát a keresett szükséges és elégséges feltétel az, hogy mindhárom szám pozitív legyen, továbbá közülük a két legnagyobb megegyezzen.