Kezdőlap


Feladat:	C.872	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mátis Zsolt
Füzet:	2007/szeptember, 331. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: C.872

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A beírt kör akkor lesz a legnagyobb, ha a síkidom mindhárom határoló vonalát érinti. Az érintkező körök középpontjait összekötő egyenes mindig áthalad az érintési ponton.
Jelöljük a legnagyobb beírt kör sugarát $r$ -rel és használjuk az ábra jelöléseit: $O_{3} E_{1} = O_{3} E_{2} = O_{3} E_{3} = r$ , $O_{1} O_{3} = 12 - r$ , $O_{2} O_{3} = 6 + r$ , továbbá $O_{1} T = r$ , mivel az $E_{3} O_{3} T O_{1}$ négyszög téglalap. Így $O_{2} T = 6 - r$ . Legyen $O_{3} T = y$ , ekkor az $O_{1} T O_{3}$ derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel: ${(12 - r)}^{2} - r^{2} = y^{2}$ , az $O_{2} T O_{3}$ derékszögű háromszögre pedig: ${(6 + r)}^{2} - {(6 - r)}^{2} = y^{2}$ .

A két egyenlet alapján

\begin{matrix} {(12 - r)}^{2} - r^{2} = {(6 + r)}^{2} - {(6 - r)}^{2}, \end{matrix}

ami elsőfokú egyenlet

r

-re, és ebből

r = 3

.
Tehát a keresett kör sugara 3 cm.