Kezdőlap


Feladat:	4017. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Deli Gábor
Füzet:	2008/február, 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/november: 4017. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a cső kicsiny $α$ szöggel elfordul a tengelye körül, a fonalak alsó végpontjai $R α$ távolsággal mozdulnak el érintőlegesen, s így a kezdetben függőleges fonalak $φ = \frac{R α}{ℓ}$ szöggel elfordulnak. A cső függőleges irányú mozgása (kis szögkitérések esetén) elhanyagolható, a cső tehát (ebben a közelítésben) függőleges irányban nem gyorsul. Emiatt a fonalakat feszítő erők eredője a csőre ható $m g$ nehézségi erővel tart egyensúlyt; az egyes fonalakat feszítő erő tehát $\frac{1}{2} m g$ kell legyen. Ezeknek az erőknek

\begin{matrix} M = - m g φ \cdot R = - m g \frac{R^{2}}{ℓ} \cdot α \end{matrix}

az eredő forgatónyomatéka.
A forgómozgás alapegyenlete szerint

M = Θ β

, ahol

β

a cső szöggyorsulása,

Θ

pedig a csőnek a tengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ha a cső belső sugara

r

, akkor (táblázatokban megtalálható képlet szerint, vagy tömör rudak tehetetlenségi nyomatékára visszavezethető meggondolásokból adódóan)

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{2} m (R^{2} + r^{2}) . \end{matrix}

A mozgásegyenlet tehát:

\begin{matrix} \frac{R^{2} + r^{2}}{2} β = - \frac{g R^{2}}{ℓ} α, \end{matrix}

ami alakilag hasonló egy

D

direkciós erejű rugó végén rezgő

M^{*}

tömegű testre felírható

\begin{matrix} M^{*} a = - D^{*} x \end{matrix}

Newton-egyenlettel. Ez utóbbi probléma megoldását ismerjük: a mozgás olyan harmonikus rezgőmozgás, amelynek periódusideje

2 π \sqrt[]{M^{*} / D^{*}}

. Az analógia alapján mondhatjuk, hogy a cső torziós lengéseinek periódusideje

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{ℓ (R^{2} + r^{2})}{2 g R^{2}}}, \end{matrix}

ahonnan a cső belső sugara, majd annak segítségével a falvastagság kiszámítható:

\begin{matrix} d = R - r = R - R \sqrt[]{\frac{g T^{2}}{2 π^{2} ℓ} - 1} = R (1 - \sqrt[]{\frac{g T^{2}}{2 π^{2} ℓ} - 1}) . \end{matrix}