Kezdőlap


Feladat:	4006. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegyi Ádám
Füzet:	2008/február, 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: 4006. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Kezdetben a rúd tömegközéppontja a kör $O$ középpontjával azonos magasságban volt, a rúd vízszintes helyzetében pedig az ábrán látható $d$ -vel mélyebben lesz;

\begin{matrix} d = \sqrt[]{R^{2} - l^{2}} \end{matrix}

(1)

a rúd középpontjának a kör középpontjától mért távolsága.

A munkatétel szerint

\begin{matrix} m g d = \frac{1}{2} Θ ω^{2}, \end{matrix}

(2)

ahol

ω

a rúd szögsebessége a legmélyebb helyzetében,

Θ

pedig a forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ez utóbbi a Steiner-tétel alapján számítható:

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{12} m l^{2} + m d^{2} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) összefüggésekből a szögsebesség négyzetét kifejezhetjük:

\begin{matrix} ω^{2} = 2 g \frac{\sqrt[]{R^{2} - l^{2}}}{R^{2} - \frac{2}{3} l^{2}} . \end{matrix}

(4)

Írjuk fel a rúd tömegközéppontjára vonatkozó mozgásegyenletet a rúd vízszintes helyzeténél! A rúd végpontjainál a körpálya fala bizonyos nagyságú erőt fejt ki a rúdra; ezek az erők a súrlódásmentesség miatt sugár irányúak, és a nagyságuk ugyanakkora

F

kell legyen. (A kényszererők nagysága azért egyforma, mert a rúd tömegközéppontja a legmélyebb helyzetében vízszintes irányban nem gyorsul.) A rúdra ható eredő erő az

m g

nehézségi erőnek és a kényszererők

F \frac{d}{R}

nagyságú függőleges komponenseinek előjeles összege. A mozgásegyenlet tehát

\begin{matrix} 2 F \frac{d}{R} - m g = m d ω^{2}, \end{matrix}

ahonnan (1) és (4) felhasználásával algebrai átalakítások után a nyomóerőre végül

\begin{matrix} F = \frac{m g R}{2 \sqrt[]{R^{2} - l^{2}}} \cdot \frac{9 R^{2} - 8 l^{2}}{3 R^{2} - 2 l^{2}} \end{matrix}

adódik.