Kezdőlap


Feladat:	3996. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bokányi Eszter , Kalina Kende
Füzet:	2008/február, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/szeptember: 3996. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a menetoszlop (földhöz viszonyított) sebességének nagyságát $u$ -val, a futár sebességének nagyságát pedig $v$ -vel! Rögzítsünk most egy vonatkoztatási rendszert a menetoszlophoz! Ebben a rendszerben az előre szaladó futár sebessége $v - u$ , amikor pedig visszafelé fut, a sebessége $v + u$ . A menetoszlop 80 m hosszú, a futár oda-vissza haladási ideje tehát (a távolságokat méter egységekben mérve)

\begin{matrix} T = t_{1} + t_{2} = \frac{80}{v - u} + \frac{80}{v + u} = \frac{160 v}{v^{2} - u^{2}} . \end{matrix}

Ennyi idő alatt a menetoszlop

u T = 150

méternyi utat tesz meg, tehát fennáll:

\begin{matrix} \frac{160 u v}{v^{2} - u^{2}} = 150. \end{matrix}

Ez az összefüggés a

\frac{v}{u}

hányadosra nézve másodfokú egyenlet:

\begin{matrix} 15 {(\frac{v}{u})}^{2} - 16 (\frac{v}{u}) - 15 = 0, \end{matrix}

amelynek pozitív megoldása

\begin{matrix} \frac{v}{u} = \frac{5}{3} . \end{matrix}

A futár tehát ennyiszer gyorsabban halad, mint a menetoszlop, s így a futár által megtett út

\frac{5}{3} \cdot 150 = 250

méter.

II. megoldás. Ábrázoljuk út‐idő grafikonon a sor elejének, a sor végének és a futárnak a mozgását!
A futár elindul a sor menetoszlop végétől (

O

esemény), eléri el a sor elejét (

Q

esemény), majd visszafutva találkozik a menetoszlop végével (

A

esemény). Mivel a futár sebességének nagysága mindvégig ugyanakkora, az

O Q

és

Q A

egyenesek meredekségének abszolút értéke megegyezik, tehát az

O R D

és

A Q C

derékszögű háromszögek hasonlóak. Ha

t_{1}

-gyel jelöljük a futár oda-vissza futásának idejét,

t_{2}

-vel a visszafelé futás időtartamát,

x

-szel pedig azt a távolságot, amennyivel a futár

t_{1}

idő alatt megelőzte volna a menetoszlopot, ha nem fordul vissza (lásd az ábrát), akkor az említett háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} \frac{80 + x}{2 t_{2}} = \frac{150 + 80 + x}{t_{1}} \end{matrix}

következik. (A távolságokat méterben mérjük, és a mértékegységet az egyszerűség kedvéért nem írjuk ki.)

Ugyancsak hasonlóak az

O S A

és a

Q C B

derékszögű háromszögek, tehát fennáll

\begin{matrix} \frac{150}{t_{1}} = \frac{80 - x}{2 t_{2}} . \end{matrix}

A fenti két egyenlet szorzatából a

\begin{matrix} 150 \cdot (80 + x) = (230 + x) \cdot (80 - x) \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek pozitív gyöke:

x = 20

.
A futár tehát összesen

s = 230 + x = 250

méter utat tesz meg.