Kezdőlap


Feladat:	B.4029	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somogyi Ákos
Füzet:	2008/február, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: B.4029

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A jól ismert Cauchy‐Bunyakovszkij‐Schwarz-féle egyenlőtlenség következő általánosítását használjuk fel: Ha $(a_{i}), (b_{i}), ..., (w_{i})$ nemnegatív, $n$ elemű számsorozatok, és a pozitív $α, β, ..., λ$ valós kitevők összege 1, akkor

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {a_{i}}^{α} {b_{i}}^{β} ... {w_{i}}^{λ} \leq {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{α} {(\sum_{i = 1}^{n} b_{i})}^{β} ... {(\sum_{i = 1}^{n} w_{i})}^{λ}, \end{matrix}

és az egyenlőség feltétele az, hogy a megfelelő sorszámú elemek aránya mindegyik sorozatban ugyanaz legyen (l. Skljarszkij‐Jaglom‐Csencov: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. kötet, 304. feladat). Alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget, mégpedig a kövekező módon: Legyen adott két kételemű sorozat,

a_{1} = r

a_{2} = s

, illetve

b_{1} = s

b_{2} = r

; mivel

r + s = 1

, legyen

α = r

és

β = s

. Felírva az egyenlőtlenséget:

r^{r} s^{s} + s^{r} r^{s} \leq {(r + s)}^{r} {(s + r)}^{s} = 1^{r + s} = 1

, ezzel az állítást igazoltuk. Egyenlőség akkor teljesül, ha

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

, azaz

\frac{r}{s} = \frac{s}{r}

, ami pozitív számokra azt jelenti, hogy

r = s = \frac{1}{2}

II. megoldás. Pozitív szám valós kitevős hatványát a racionális kitevőjű hatványokra teljesülő monotonitás segítségével, határértékként szokás definiálni. Ezt nem részletezve de felhasználva, az egyenlőtlenséget arra az esetre igazoljuk, amikor az

r

és

s

kitevők racionálisak.
Legyen

r = \frac{p}{t}

s = \frac{q}{t}

, ekkor a feltétel miatt

t = (p + q)

, és

p, q, t > 0

. Megmutatjuk, hogy ekkor

\begin{matrix} r^{r} \cdot s^{s} & \leq r^{2} + s^{2}, & (1) \\ r^{s} \cdot s^{r} & \leq 2 r s . & (2) \end{matrix}

A fenti két egyenlőtlenség összege éppen azt mondja, hogy

r^{r} \cdot s^{s} + r^{s} \cdot s^{r}

legfeljebb

r^{2} + s^{2} + 2 r s = {(r + s)}^{2} = 1

.
Az (1) belátásához:

\begin{matrix} r^{r} \cdot s^{s} = {(\frac{p}{t})}^{\frac{p}{t}} \cdot {(\frac{q}{t})}^{\frac{q}{t}} = \sqrt[t]{\frac{p^{p}}{t^{p}} \cdot \frac{q^{q}}{t^{q}}}, \end{matrix}

Tehát azt kell igazolnunk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[p + q]{p^{p} \cdot q^{q}} \leq (p + q) \cdot \frac{p^{2} + q^{2}}{{(p + q)}^{2}} = \frac{p^{2} + q^{2}}{p + q} . \end{matrix}

Itt a bal oldal éppen

p

darab

p

-nek és

q

darab

q

-nak a mértani közepe, míg a jobb oldalon ugyanezen számok számtani közepe áll, így az ezek közti egyenlőtlenség bizonyítja (1)-et.
A (2) belátása is hasonlóan történhet:

\begin{matrix} r^{s} \cdot s^{r} = {(\frac{p}{t})}^{\frac{q}{t}} \cdot {(\frac{q}{t})}^{\frac{p}{t}} = \sqrt[t]{\frac{p^{q}}{t^{q}} \cdot \frac{q^{p}}{t^{p}}}, \end{matrix}

vagyis a cél

\begin{matrix} \sqrt[p + q]{p^{q} \cdot q^{p}} \leq (p + q) \cdot \frac{2 p q}{{(p + q)}^{2}} = \frac{2 p q}{p + q} . \end{matrix}

A bal oldal éppen

q

darab

p

-nek és

p

darab

q

-nak a mértani közepe, a jobb oldal pedig ugyanezen számok számtani közepe, ezzel (2)-t beláttuk, és vele a feladat állítását is.
Az egyenlőség teljesülésének vizsgálatához csak azt kell meggondolnunk, hogy olyankor (1)-ben és (2)-ben is szükségképpen egyenlőségnek kell lennie; az viszont csak

p = q

esetén következik be, azaz

r = s = \frac{1}{2}

III. megoldás. Mivel

1 = r + s = r^{r + s} + s^{r + s} = r^{r} r^{s} + s^{r} s^{s}

, azért

\begin{matrix} 1 - (r^{r} s^{s} + r^{s} s^{r}) = r^{r} r^{s} + s^{r} s^{s} - r^{r} s^{s} - s^{r} r^{s} = (r^{r} - s^{r}) (r^{s} - s^{s}) . \end{matrix}

a > 0

, akkor az

x^{a}

függvény a pozitív számokon szigorúan monoton nő; így a szorzat mindkét tényezője pozitív, ha

r > s

, negatív, ha

r < s

, míg

r = s

esetén 0. A szorzat tehát mindig nemnegatív, amiből a feladat állítása leolvasható. Az is látszik, hogy egyenlőség pontosan az

r = s = \frac{1}{2}

esetben áll fenn.