Kezdőlap


Feladat:	B.3945	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Psenák Bálint
Füzet:	2008/február, 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: B.3945

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A (3) egyenletből következik, hogy $x$ , $y$ , $z$ egyike sem lehet 0. Ezt az egyenletet $x y z$ -vel szorozva és rendezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} y z + x z + x y + z^{2} & = 0, \\ z (x + z) + y (x + z) & = 0, \\ (z + x) (z + y) & = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0.
I. eset:

z = - x

. Ezt (1)-be behelyettesítve azt kapjuk, hogy

y^{3} = 8

, tehát

y = 2

. Végül (2)-be beírva

y

értékét és

z = - x

-et, azt kapjuk, hogy

x^{2} = 9

. Mindezekből az következik, hogy azok a számhármasok felelnek meg, melyekben az

x

és

z

egyike 3, a másikuk pedig

- 3

\begin{matrix} x_{1} = 3, y_{1} = 2, z_{1} = - 3; x_{2} = - 3, y_{2} = 2, z_{2} = 3. \end{matrix}

II. eset:

z = - y

. Mivel az eredeti egyenletrendszer mindhárom egyenlete szimmetrikus

x

-re és

y

-ra, ebben az esetben a következő két megoldást kapjuk:

\begin{matrix} x_{3} = 2, y_{3} = 3, z_{3} = - 3; x_{4} = 2, y_{4} = - 3, z_{4} = 3. \end{matrix}

Egyik esetben sem 0 semelyik változó, tehát mind a négy megoldás kielégíti az egyenletrendszert.