Kezdőlap


Feladat:	C.899	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/április: C.899

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha $v = 0$ , akkor a (2) egyenletből $x = - z$ , a (3)-ból $x = - y$ , ami csak úgy lehetséges, ha $x = y = z = 0$ .
Feltehetjük, hogy $v \neq 0$ .
Vonjuk ki (2)-ből (1)-et, kapjuk, hogy

\begin{matrix} y (v - 1) = 0. \end{matrix}

(4)

Innen, ha

v = 1

, a következő egyenletrendszerhez jutunk:

\begin{matrix} x + y + z & = & 1, \\ x + y + z & = & 1, \\ x + y + z & = & 1, \end{matrix}

aminek végtelen sok megoldása van, minden olyan számhármas, aminek az összege 1. Feltehetjük tehát, hogy

v \neq 1

.
Ha (4)-ben

y = 0

, akkor az egyenletrendszer:

\begin{matrix} x + z & = & v, \\ x + z & = & v, \\ x + v^{2} z & = & v^{2} . \end{matrix}

Az első egyenletből

x = v - z

, ezt helyettesítve a harmadik egyenletbe:

\begin{matrix} v - z + v^{2} z = v^{2}, azaz z = \frac{v (v - 1)}{v^{2} - 1}; \end{matrix}

v \neq - 1

, akkor

\begin{matrix} z = \frac{v (v - 1)}{(v - 1) (v + 1)} . \end{matrix}

A törtet egyszerűsítsük

(v - 1)

-gyel, kapjuk, hogy

\begin{matrix} z = \frac{v}{v + 1}, és x = v - \frac{v}{v + 1} = \frac{v^{2}}{v + 1}, \end{matrix}

az egyenletrendszernek van megoldása.
Ha pedig

v = - 1

, akkor az

\begin{matrix} x + y + z & = & - 1, \\ x - y + z & = & - 1, \\ x + y + z & = & 1 \end{matrix}

egyenletrendszerhez jutunk. Az első és harmadik egyenlet ellentmondó, azaz

v = - 1

esetén nincs megoldása az egyenletrendszernek s ez az egyetlen ilyen

v

érték.