Kezdőlap


Feladat:	C.897	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2008/február, 88 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Mértani helyek, Kör geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/április: C.897

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tudjuk, hogy egy $O$ középpontú $R$ sugarú $k$ körvonaltól egyenlő $d$ távolságra lévő pontok összessége két olyan $k$ -val koncentrikus kör, amelyeknek sugara $R + d$ , illetve $R - d$ . Az első kör a körlemezen kívül van, míg a második belül, esetleg csak egyetlen pont.
Vegyük fel az egységnyi oldalú $A B C D$ rombuszt, melynek egyik hegyes-szöge $60^{\circ}$ .
1. eset. Válasszuk ki a rombusz három, szabályos háromszöget alkotó csúcsát. Legyen ez például az $A$ , $B$ és $D$ . Rajzoljuk meg az $A B D$ szabályos háromszög körülírt körét, középpontja $O$ , sugara (mivel a súlyvonal és a magasságvonal megegyezik) a magasság $\frac{2}{3}$ -a, azaz

\begin{matrix} r_{1} = O D = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{3} . \end{matrix}

Rajzoljuk meg az

O

középponttal az

O C

sugarú kört, ahol

\begin{matrix} r_{2} = O C = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{4 \sqrt[]{3}}{6} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3} . \end{matrix}

A keresett

O

középpontú kör ‐ vagyis az, amelynek pontjai az előző két koncentrikus körtől egyenlő távolságra vannak ‐ sugara:

\begin{matrix} r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{3} + \frac{2 \sqrt[]{3}}{3}}{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Két ilyen kört kapunk aszerint, hogy az

A B D

vagy

B C D

szabályos háromszöget választottuk ki először. Az így rajzolt körtől a rombusz csúcsai egyenlő távolságra lesznek.
2. eset. Tekintsük most az

A C D

háromszöget, és rajzoljuk meg a körülírt körét. A rombusz

B

csúcsa a körülírt kör középpontja, hiszen

\begin{matrix} B A = B D = B C = 1, \end{matrix}

és így

r_{1} = 1

r_{2} = 0

; a keresett kör sugara

r = \frac{1}{2}

Az így kapott körtől a rombusz csúcsai egyenlő

\frac{1}{2}

távolságra lesznek. Most is két kört kapunk aszerint, hogy az

A C D

vagy az

A B C

háromszögből indulunk ki.
3. eset. Két koncentrikus kör a rombusz két-két csúcsát tartalmazza. Ez csak a rombusz két-két átellenes csúcsa lehet, a két kör közös középpontja az átlók metszéspontja,

O

. A

B

-n és

D

-n átmenő kör sugara

r_{1} = \frac{1}{2}

. Az

O

középpontú,

A

-n és

C

-n átmenő kör sugara

r_{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

. A keresett mértani hely az előző körökkel koncentrikus

\begin{matrix} r = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt[]{3} + 1}{4} \end{matrix}

sugarú kör. Most csak egy megoldást kapunk.

Tehát összesen 5 olyan körvonal van, amelytől a rombusz csúcsai egyenlő távolságra vannak.