Kezdőlap


Feladat:	C.866	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hajnal Kristóf
Füzet:	2008/február, 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: C.866

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ahhoz, hogy az $a x^{2} + b x + c = 0$ másodfokú egyenletnek két különböző gyöke legyen, a diszkriminánsnak nullánál nagyobbnak kell lennie. Minél nagyobb a diszkrimináns, annál nagyobb számot kell kivonnunk, illetve hozzáadnunk $- \frac{b}{2 a}$ -hoz. Minél többet vonunk ki, illetve adunk hozzá, annál nagyobb lesz a két gyök között a különbség. A diszkrimináns (továbbiakban $D$ ) értéke az adott egyenletben:

\begin{matrix} D = f (a) = 16 a^{2} - 4 (5 a^{2} - 6 a) = - 4 a^{2} + 24 a = 4 a (6 - a) . \end{matrix}

f (a) = 0

egyenletnek két gyöke

a_{1} = 0

és

a_{2} = 6

. Mivel

a^{2}

együtthatója

- 4 < 0

, az

f (a)

függvény grafikonja egy ,,lefelé álló'' parabola, melynek maximuma a két zérushely átlagában van. Tehát

D

akkor a legnagyobb, ha

a = 3

, és ekkor lesznek a legmesszebb egymástól az eredeti egyenlet gyökei.