Megoldás. Jelölje $d$ a szóban forgó számtani sorozat különbségét. Ha $d$ páros, akkor a sorozat csupa páros számból áll. Egy ilyen sorozatra csak úgy lehet igaz a feladatban leírt tulajdonság, ha a sorozatnak legfeljebb $2006$ tagja van. Ekkor persze a feladat az üreshalmaz eleméről állít valamit, tehát nincs mit bizonyítanunk.
Az érdekes eset az, amikor $d$ páratlan. Tekintsük a sorozat $2008$ egymást követő tagját, legyen ezek halmaza mondjuk $H=\left\{a\mathrm{,}a+d\mathrm{,}a+2d\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}a+2007d\right\}$. Mivel $d$ páratlan, azért $a$ és $a+2007d$ ellentétes paritásúak; jelölje $p$ közülük a páratlant. Ekkor $H\setminus \left\{p\right\}$ a vizsgált számtani sorozat $2007$ szomszédos tagja, így a feltétel szerint valamelyikük (mondjuk $q$) relatív prím $H\setminus \left\{p\right\}$ minden eleméhez. Állítjuk, hogy $q$ teljesíti a feladat által megkívánt tulajdonságot, azaz $q$ a $H$ halmaz minden eleméhez relatív prím. Ehhez pedig csupán azt kell igazolnunk, hogy $p$ és $q$ relatív prímek.
Világos, hogy $q$ páratlan, hiszen a $H\setminus \left\{p\right\}$ sorozatnak van $q$-tól különböző páros tagja, amihez $q$ relatív prím. Márpedig ha $p$ és $q$ páratlan tagjai egy páratlan különbségű számtani sorozatnak, akkor sorszámuk páros számmal különbözik, így $r:=\frac{p+q}{2}$ is tagja a számtani sorozatnak. Ráadásul, mivel $p$ a $H$ ,,szélső'' eleme, $r\in H\setminus \left\{p\right\}$ is teljesül. Ezért $q$ és $r$ relatív prímek a $q$ választása miatt. Jelölje $D$ a (páratlan) $p$ és $q$ számok legnagyobb közös osztóját. Világos, hogy $D\mid p+q$ és mivel $D$ páratlan, azért $D\mid \frac{p+q}{2}=r$ is teljesül. Azt kaptuk, hogy $D$ közös osztója a relatív prím $q$ és $r$ számoknak. Ezt azt jelenti, hogy $D=1$, tehát $p$ és $q$ is relatív prímek. Nekünk pedig éppen ezt kellett igazolnunk.  $\square$