Kezdőlap


Feladat:	3979. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tolner Ferenc
Füzet:	2008/január, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontszerű töltés térerőssége, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/április: 3979. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az elektromos térerősség vektormennyiség, az egyes töltésektől származó $E_{1}$ és $E_{2}$ térerősségek vektori összege. Ez csak akkor lehet nullvektor, ha $E_{1}$ és $E_{2}$ egy egyenesbe esnek, irányuk különböző, és a nagyságuk egymással egyenlő.
Az eredő elektromos térerősség tehát csak a töltéseket összekötő egyenes mentén, a $Q$ töltésű testhez közelebb lehet nulla. (A két töltés közötti szakasz mentén $E_{1}$ és $E_{1}$ ugyanabba az irányba mutat, összegük nem lehet nulla.) Ha $x$ -szel jelöljük a kérdéses pont és a $Q$ töltésű test távolságát, az $| E_{1} | = | E_{2} |$ feltétel így írható:

\begin{matrix} \frac{k Q}{x^{2}} = \frac{k \cdot 4 Q}{{(L + x)}^{2}}, \end{matrix}

ahonnan az

x > 0

megoldás:

x = L

.
Az eredő térerősség tehát a töltéseket összekötő egyenesnek

Q

-n ,,túli'' szakaszán, a

Q

töltéstől

L

, a

- 4 Q

töltéstől pedig

2 L

távolságban lesz nulla.

b)

A potenciál skalár mennyiség, az eredő potenciál az egyes töltésekből származó potenciálok összege:

\begin{matrix} U = U_{1} + U_{2} = k \frac{Q}{R_{1}} + k \frac{(- 4 Q)}{R_{2}} . \end{matrix}

(

R_{1}

és

R_{2}

a kérdéses pont és a töltések távolsága; az 1-es index utal a

Q

töltésre, a 2-es index pedig a

- 4 Q

töltésű testre.)
Az eredő potenciál ott nulla, ahol

R_{2} = 4 R_{1}

teljesül. Ez a töltéseket összekötő egyenes mentén két pontban is fennáll, a töltéseket között, a

Q

töltésű testtől

\frac{1}{5} L

, a másik töltéstől

\frac{4}{5} L

távolságra, valamint a

Q

töltésen ,,kívül'', attól

\frac{1}{3} L

, a másik töltéstől

\frac{4}{3} L

távolságban.
Az eredő potenciál azonban nem csak a töltéseket összekötő egyenes mentén lehet nulla, hanem minden olyan pontban, amelyre

R_{2} = 4 R_{1}

fennáll. Ezek a térben egy gömbfelületet alkotnak, az ún. Apollóniusz-gömbön helyezkednek el. Síkban azon pontok, amelyeknek két meghatározott ponttól mért távolságának aránya egy adott (1-től különböző) pozitív szám, az ún. Apollóniusz-körön helyezkednek el. Az Apollóniusz-gömb az Apollóniusz-kör ,,megforgatásából'' adódó felület.
Ha olyan síkbeli koordináta-rendszert választunk, amely origója a

Q

töltésű test, a másik töltés pedig a

(0, L)

pontban van, akkor az Apollóniusz-kör

P (x, y)

pontjaira

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{{(L - x)}^{2} + y^{2}}}{\sqrt[]{x^{2} + y^{2}}} = 4 \end{matrix}

adódik. Innen algebrai átalakítások után kapjuk:

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{15} L)}^{2} + y^{2} = {(\frac{4}{15} L)}^{2}, \end{matrix}

amely valóban egy kör egyenlete. A kör sugara:

R = \frac{4}{15} L

, középpontja pedig a

(- \frac{1}{15} L,0)

koordinátájú pont. A térbeli megoldást szolgáltató Apollóniusz-gömb sugara ugyanekkora, és középpontja is ugyanebben a pontban van.