Kezdőlap


Feladat:	3968. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tolnai Gábor
Füzet:	2008/január, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folytonossági (kontinuitási) egyenlet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/március: 3968. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A víz gyakorlatilag összenyomhatatlan, sűrűsége $(ϱ)$ az áramlás során nem változik. A vízsugár bármely keresztmetszetén adott (mondjuk egységnyi) idő alatt ugyanakkora tömegű, tehát ugyanakkora térfogatú folyadék áramlik keresztül. Ha $A$ -val jelöljük a vízsugár keresztmetszetét és $v$ -vel a sebességét a kérdéses helyen, akkor az anyagmegmaradást kifejező összefüggés:

\begin{matrix} v_{1} A_{1} = v_{2} A_{2}, azaz v_{1} = \frac{A_{2}}{A_{1}} v_{2} = {(\frac{d_{2}}{d_{1}})}^{2} v_{2}, \end{matrix}

ahol

d_{1,2}

a vízsugár átmérője az egyik, illetve másik helyen.
A szabadon eső ‐ tehát

g

gyorsulással mozgó ‐ víz bármely kicsiny ,,darabkájára'' felírhatjuk az egyenletesen gyorsuló mozgás sebesség-képletét:

\begin{matrix} v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + 2 g h, \end{matrix}

ahol az 1-es index a vízsugár felső, 6 mm átmérőjű részére, a 2-es index pedig az alsó,

h = 4

cm-rel lentebbi részére vonatkozik.

Megjegyzés. A fenti összefüggés a súrlódásmentes folyadékáramlás egyik alapegyenletéből, a Bernoulli-törvényből is megkapható:

\begin{matrix} \frac{1}{2} ϱ v_{1}^{2} + p_{0} = \frac{1}{2} ϱ v_{2}^{2} + ϱ g h + p_{0}, \end{matrix}

ha kihasználjuk, hogy a vízsugár belsejében a nyomás gyakorlatilag állandó, a külső

p_{0}

légnyomással egyezik meg.

A fenti összefüggésekből kiszámíthatjuk pl. a vízsugár alsó keresztmetszetén áthaladó folyadék sebességét:

\begin{matrix} v_{2} = \sqrt[]{\frac{2 g h}{1 - {(\frac{d_{2}}{d_{1}})}^{4}}} = 0, 93 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Ekkora sebességgel a vízsugár

A_{2} = 9, 1 mm^{2}

keresztmetszetén másodpercenként

v_{2} A_{2} = 8, 5 mm^{3}= 8,5\cdot10^{- 6} m^{3}

, 12 óra alatt pedig

0, 37 m^{3}

, mintegy 370 liter víz folyik el!