A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Igen, megoldható. Mutatunk erre egy módszert. Először válasszuk ki azokat a fűszálakat, amelyek magasabbak az átlagnál, és vágjuk le őket átlag hosszúra. A levágott feleslegeket ragasszuk össze egyetlen szállá, majd daraboljuk föl akkora részekre, amekkorák az átlagnál rövidebb fűszálakhoz hiányoznak. Ez megtehető, mert a hosszabbak feleslegeinek összege egyenlő a rövidebbek hiányainak összegével az átlag tulajdonsága miatt. Végül ragasszuk ezeket a megfelelő rövid fűszálakra. Így minden fűszál átlag hosszú lesz, és először annyi vágást végzünk, amennyi hosszú fűszál van, majd eggyel kevesebbet, mint amennyi rövid van. Ez összesen legfeljebb vágást jelent.
II. megoldás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a fűszálak összhossza , vagyis minden fűszálat egységesen egység hosszúra szeretnénk nyírni. Hogy a fűnyírás mindig megtehető a feladatban leírt módon, szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha , akkor az állítás nyilvánvaló. Ha , és esetén már igazoltuk az állítást, akkor eljárásunk legyen a következő. Válasszuk ki a(z egyik) leghosszabb fűszálat. Ha ez pontosan 1 hosszú, akkor minden fűszál 1 hosszú, vagyis egyetlen vágásra sincs szükség. Ellenkező esetben vágjuk le a fűszálat átlag hosszúra, a levágott részt pedig ragasszuk hozzá képzeletben bármelyik másik fűszálra. Így a már levágott fűszálon kívül megmaradt fűszál összhossza , tehát azokat legfeljebb vágással mind egység hosszúra nyírhatjuk. |