Kezdőlap


Feladat:	B.3976	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási Gábor
Füzet:	2008/január, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: B.3976

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az egyenesek háromszögön belüli szakaszainak hosszát $x$ -szel.
Az ábrán látható összes háromszög hasonló, mivel oldalaik párhuzamosak. Jelöljük ezek területeit az ábra szerint, továbbá az $A B C$ háromszög területét $T$ -vel. Vegyük észre, hogy $t_{A} + t_{B} + t_{C} = T + t_{a} + t_{b} + t_{c}$ .

A hasonlóságok miatt

\begin{matrix} t_{A} = {(\frac{x}{a})}^{2} T, t_{B} = {(\frac{x}{b})}^{2} T, t_{C} = {(\frac{x}{c})}^{2} T, \end{matrix}

valamint felhasználva, hogy az ábrán levő paralelogrammák szemközti oldalai egyenlők:

\begin{matrix} t_{a} = {(\frac{a - x}{a})}^{2} T, t_{b} = {(\frac{b - x}{b})}^{2} T, t_{c} = {(\frac{c - x}{c})}^{2} T . \end{matrix}

Így a következő egyenletet írhatjuk fel:

\begin{matrix} {(\frac{x}{a})}^{2} T + {(\frac{x}{b})}^{2} T + {(\frac{x}{c})}^{2} T = T + {(\frac{a - x}{a})}^{2} T + {(\frac{b - x}{b})}^{2} T + {(\frac{c - x}{c})}^{2} T . \end{matrix}

T

-vel egyszerűsítve és rendezve:

\begin{matrix} 4 - 2 x (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 0. \end{matrix}

Következésképpen a keresett hosszúság:

\begin{matrix} x = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}, \end{matrix}

éppen az oldalak harmonikus közepének

\frac{2}{3}

része.