Kezdőlap


Feladat:	C.898	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fónagy Fanni
Füzet:	2008/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/április: C.898

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg a bogarak helyzetét az indulástól számított $t$ másodperc múlva.

C

csúcsból induló bogár

4 t

utat tett meg, a

B

csúcsból induló pedig

3 t

utat. Keressük a

P Q

szakasz minimumát.

P Q

-t ki tudjuk számolni a koszinusz tétel segítségével:

\begin{matrix} P Q^{2} = C P^{2} + C Q^{2} - 2 C P \cdot C Q \cdot cos α . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

C P = 4 t

Q B = 3 t

és ezért

C Q = 60 - 3 t

\begin{matrix} P Q^{2} = {(4 t)}^{2} + {(60 - 3 t)}^{2} - 2 \cdot 4 t \cdot (60 - 3 t) \cdot 0, 5, \end{matrix}

mivel

cos 60^{\circ} = 0, 5

. Innen a jobb oldalt kifejtés után teljes négyzetté alakítva:

\begin{matrix} P Q^{2} = 37 t^{2} - 600 t + 3600 = 37 [{(t - \frac{300}{37})}^{2} + \frac{43 200}{1369}] . \end{matrix}

P Q^{2}

-nek pontosan ott van minimuma, ahol

P Q

-nak, mivel a négyzetfüggvény a pozitív számok körében szigorúan monoton. Így a keresett minimumhely

t = \frac{300}{37}

, ekkor

\begin{matrix} P Q = \sqrt[]{\frac{43 200}{37}} \approx 34, 17. \end{matrix}

Tehát 8,11 s múlva lesznek egymáshoz a legközelebb, távolságuk ekkor 34,17 mm.

Megjegyzés. Sok megoldó ,,ösztönösen'', bizonyítási kísérlet nélkül kimondott olyan állításokat a szélsőérték helyére vonatkozóan, amelyek nem igazak. (A leggyakoribbak: az

A P Q

háromszög egyenlő szárú ‐ vagyis a keresett szakasz párhuzamos

A B

-vel ‐, illetve a keresett szakasz merőleges például az

A C

oldalra.)
Néhányan félreértették a feladatot, azt hitték, hogy a bogarak körbe-körbe mennek a háromszög kerületén, amíg a gyorsabb utól nem éri a lassabbat.