Kezdőlap


Feladat:	C.887	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2008/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: C.887, 1967/szeptember: 1550. matematika feladat, 1967/szeptember: 1967. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A nyolcjegyű szám felírásához 1-től 8-ig használhatjuk fel a számokat.
Olyan szám, amely 8 darab 8-asból áll, csak 1 van.
A 7 darab 7-est tartalmazó szám mellé nyolcadik jegyként csak az 1 állhat, s ez akármelyik helyre kerülhet, ez összesen 8 lehetőség.
A 6 darab 6-os mellé a maradék két helyen csak 2-es szerepelhet. Ekkor az összes lehetőségek száma:

\begin{matrix} \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 8}{1 \cdot 2} = 28 \end{matrix}

(ismétléses permutáció).
Az 5 darab 5-ös mellett állhat 1 db 1-es és 2 darab 2-es, vagy három 3-as. Az első esetben

\begin{matrix} \frac{8!}{5! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2} = 168, \end{matrix}

míg a második esetben

\begin{matrix} \frac{8!}{5! \cdot 3!} = 56 \end{matrix}

a lehetőségek száma.
Végül, ha 4 darab 4-es számjegyünk van, akkor a maradék 4 helyen 1 db 1-est és 3 db 3-ast használhatunk fel, azaz

\begin{matrix} \frac{8!}{4! \cdot 3!} = 280 \end{matrix}

új számot kapunk.
Ezzel minden lehetőséget figyelembe vettünk, mivel 3-as, 2-es és 1-es felhasználásával a feltételnek megfelelően csak hatjegyű szám készíthető.
A feltételnek eleget tevő nyolcjegyű számok száma:

1 + 8 + 28 + 168 + 56 + 280 = 541