Kezdőlap


Feladat:	C.886	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Antal Emese
Füzet:	2008/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyzetek, Kör geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: C.886

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a négyzet oldalát $a$ -val, középpontját $O$ -val, az egyik oldalának végpontjait $A$ -val és $B$ -vel az ábra szerint. A négyzet körülírt körének sugara: $\frac{a \sqrt[]{2}}{2}$ .

A B

fölé írt körcikk területét megkapjuk, ha a negyedkör területéből kivonjuk az

A B O

háromszög területét:

\begin{matrix} \frac{1}{4} {(\frac{a \sqrt[]{2}}{2})}^{2} \cdot π - \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{2} - 1) . \end{matrix}

A félhold területét az

A B

fölé írt félkör és a körcikk területének különbsége adja, s erről tudjuk, hogy egyenlő 1-gyel. Azaz

\begin{matrix} 1 = \frac{1}{2} {(\frac{a}{2})}^{2} π - \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{2} - 1) = \frac{a^{2}}{4} (\frac{π}{2} - \frac{π}{2} + 1) = \frac{a^{2}}{4}, \end{matrix}

ahonnan

a = 2

, vagyis a négyzet oldala 2 m.