Kezdőlap


Feladat:	C.881	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pásztor Bálint
Füzet:	2008/január, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Algebrai átalakítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: C.881

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Végezzük el a kijelölt műveleteket, és próbáljuk meg a kapott egyenletet szorzattá alakítani:

\begin{matrix} 27 x^{2} = 4 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 4, \\ 4 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x + 4 = 0. \end{matrix}

Tovább alakítva:

\begin{matrix} 4 x^{3} - 8 x^{2} - 7 x^{2} + 12 x + 4 = 4 x^{2} (x - 2) - 7 x^{2} + 14 x + 4 - 2 x & = \\ = 4 x^{2} (x - 2) - 7 x (x - 2) - 2 (x - 2) = (x - 2) (4 x^{2} - 7 x - 2) & = & 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezért vagy

x - 2 = 0

, és ekkor

x = 2

, vagy

4 x^{2} - 7 x - 2 = 0

. A másodfokú egyenlet megoldásai:

\begin{matrix} x_{1, 2} = \frac{7 \pm \sqrt[]{81}}{8}, \end{matrix}

ahonnan

x_{1} = 2

(ezt már megkaptuk az előbb) és

x_{2} = - \frac{1}{4}

. Mivel végig ekvivalens átalakításokat végeztünk, mindkét szám megoldása az egyenletnek.