I. megoldás. A sorszámozás ciklikus jellegét követve vezessük be az $x_{n+1}=x_1$ jelölést. Legyen $i$ egy tetszőlegesen rögzített érték az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ közül, és vizsgáljuk meg az $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+\text{...}+x_{n-1}{x}_n+x_n{x}_1$ összeg viselkedését abban az esetben, ha a változók a $\pm 1$ értékeket vehetik fel, és egy ilyen kiosztást követően $x_i$ előjelét az ellenkezőjére változtatjuk. Az $x_i$ megváltozása az összegnek csupán két (szomszédos) tagját befolyásolja, ezért elegendő az $x_{i-1}{x}_i+x_i{x}_{i+1}$ sorsát nyomon követni. Az $x_{i-1}$, $x_i$, $x_{i+1}$ értéke 1 vagy $-1$, így a szorzatok értéke is csak 1 vagy $-1$ lehet; ennek megfelelően $x_{i-1}{x}_i+x_i{x}_{i+1}$ csak a $-2$, 0 vagy 2 értékek valamelyikét veheti fel. A két szorzat összege pontosan akkor $-2$, ha mindkét szorzat $-1$, ami azt jelenti, hogy $x_i$ előjele $x_{i-1}$ és $x_{i+1}$ előjelével is ellentétes. Így, ha $x_i$ előjelét az ellenkezőjére változtatjuk, akkor $x_{i-1}=x_i=x_{i+1}$ folytán az összeg értéke $-2$-ről 2-re változik. Az eseménysort visszafelé lepergetve elmondhatjuk, hogy ha kezdetben $x_{i-1}{x}_i+x_i{x}_{i+1}=2$ ‐ ami akkor és csak akkor teljesül, ha $x_{i-1}=x_i=x_{i+1}$ ‐ úgy az $x_i$ előjelének megváltoztatása után az összeg új értéke $-2$. Hasonlóan látható, illetve formális logikai következtetéssel is adódik, hogy ha $x_{i-1}{x}_i+x_i{x}_{i+1}=0$, akkor az összeg értéke az $x_i$ ellentettjével is 0 marad. Ezzel beláttuk, hogy az $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+\text{...}+x_{n-1}{x}_n+x_n{x}_1$ kifejezés értéke mindig 0-val vagy $\pm 4$-gyel változik, ha az egyik $x_i$ helyett a $-1$-szeresét szerepeltetjük.
Tegyük fel ezután, hogy $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+\text{...}+x_{n-1}{x}_n+x_n{x}_1=0$. Változtassuk meg egyenként a negatív $x_i$ értékeket $+1$-re; így végül mindegyikük 1 lévén, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+\text{...}+x_{n-1}{x}_n+x_n{x}_1=n$ lesz. A változás minden lépésben 4-gyel osztható volt, ezért a végső eltérés, $n-0=n$ is osztható 4-gyel.
Megfordítva: tegyük fel, hogy $n$ osztható 4-gyel, azaz $n=4k$. Legyen ekkor $x_{4t+1}=1$, $x_{4t+2}=-1$, $x_{4t+3}=1$, $x_{4t}=1$ ($t=\mathrm{0,1,}\text{...}\mathrm{,}k$ mellett). Ekkor az $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_4+\text{...}+x_{n-1}{x}_n+x_n{x}_1$ összegben két $-1$ értékű szorzatot mindig két 1 értékű követ, ezért az összeg nulla.
Tehát a feladat követelményét pontosan a 4-gyel osztható $n$ számok elégítik ki.