A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A sorszámozás ciklikus jellegét követve vezessük be az jelölést. Legyen egy tetszőlegesen rögzített érték az közül, és vizsgáljuk meg az összeg viselkedését abban az esetben, ha a változók a értékeket vehetik fel, és egy ilyen kiosztást követően előjelét az ellenkezőjére változtatjuk. Az megváltozása az összegnek csupán két (szomszédos) tagját befolyásolja, ezért elegendő az sorsát nyomon követni. Az , , értéke 1 vagy , így a szorzatok értéke is csak 1 vagy lehet; ennek megfelelően csak a , 0 vagy 2 értékek valamelyikét veheti fel. A két szorzat összege pontosan akkor , ha mindkét szorzat , ami azt jelenti, hogy előjele és előjelével is ellentétes. Így, ha előjelét az ellenkezőjére változtatjuk, akkor folytán az összeg értéke -ről 2-re változik. Az eseménysort visszafelé lepergetve elmondhatjuk, hogy ha kezdetben ‐ ami akkor és csak akkor teljesül, ha ‐ úgy az előjelének megváltoztatása után az összeg új értéke . Hasonlóan látható, illetve formális logikai következtetéssel is adódik, hogy ha , akkor az összeg értéke az ellentettjével is 0 marad. Ezzel beláttuk, hogy az kifejezés értéke mindig 0-val vagy -gyel változik, ha az egyik helyett a -szeresét szerepeltetjük. Tegyük fel ezután, hogy . Változtassuk meg egyenként a negatív értékeket -re; így végül mindegyikük 1 lévén, lesz. A változás minden lépésben 4-gyel osztható volt, ezért a végső eltérés, is osztható 4-gyel. Megfordítva: tegyük fel, hogy osztható 4-gyel, azaz . Legyen ekkor , , , ( mellett). Ekkor az összegben két értékű szorzatot mindig két 1 értékű követ, ezért az összeg nulla. Tehát a feladat követelményét pontosan a 4-gyel osztható számok elégítik ki.
Megjegyzés. Abban az esetben, amikor az osztható 4-gyel, számos más konstrukcióval is elérhető, hogy a szóban forgó összeg értéke nulla legyen; ezeket azonban nem részletezzük. Viszont a megoldás azon részére, hogy a feltétel szükséges, egy további megközelítést is mutatunk.
II. megoldás. Az sorozatban akkor beszélünk jelváltásról, ha valamilyen -re az és előjele különböző. A jelváltás annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az szorzat értéke legyen. Ha a jelváltások száma , akkor tehát . Így, ha a fenti kifejezés értéke 0, akkor páros. Másrészt a sorozat első és utolsó eleme egyenlő, ezért a jelváltások száma szükségképpen páros, azaz osztható 4-gyel. |