A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Először megmutatjuk, hogy bármely trapézban az átlók metszéspontjának az alapoktól való távolságainak aránya egyenlő az alapok hosszának arányával. Ha ugyanis az trapéz átlóinak metszéspontja (1. ábra), akkor az és háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik egyenlők (az -nél és -nél, valamint az -nál és -nél lévő szögek váltószögek, a -nél lévők pedig csúcsszögek). A hasonlóság aránya pedig , tehát ilyen arányban áll a két háromszög -hez tartozó magasságainak hossza is. Ez viszont nem más, mint -nek az és egyenesektől vett távolságainak aránya.
1. ábra Tekintsük most a feladatban szereplő trapézokat. Az előbb bizonyítottak alapján -nek az és egyenesektől vett távolságainak aránya , -nak pedig az ugyanezen egyenesektől vett távolságainak aránya . A párhuzamos szelők tétele szerint , vagyis a és pontok az és egyenesek között, az egyenestől ugyanakkora távolságra helyezkednek el, tehát valóban párhuzamos az egyenessel.
2. ábra
Megjegyzés. Ha az trapéz átlóinak metszéspontja , akkor -nek az alapoktól való távolságainak az aránya is , vagyis a egyenesen is rajta van. Tehát az -en átmenő három egyenes, valamint az egymással párhuzamos és egyenesek által alkotott három trapéz átlóinak metszéspontjai egy -val párhuzamos egyenesen vannak. |