Feladat: B.3894 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szórádi Márk 
Füzet: 2006/október, 415 - 416. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trapézok, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/március: B.3894

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy bármely trapézban az átlók metszéspontjának az alapoktól való távolságainak aránya egyenlő az alapok hosszának arányával. Ha ugyanis az XYZV trapéz átlóinak metszéspontja W (1. ábra), akkor az XYW és ZVW háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik egyenlők (az X-nél és Z-nél, valamint az Y-nál és V-nél lévő szögek váltószögek, a W-nél lévők pedig csúcsszögek). A hasonlóság aránya pedig XYZV, tehát ilyen arányban áll a két háromszög W-hez tartozó magasságainak hossza is. Ez viszont nem más, mint W-nek az XY és ZV egyenesektől vett távolságainak aránya.

 
 

1. ábra
 

Tekintsük most a feladatban szereplő trapézokat. Az előbb bizonyítottak alapján P-nek az AD és BC egyenesektől vett távolságainak aránya AE:BF, Q-nak pedig az ugyanezen egyenesektől vett távolságainak aránya DE:CF. A párhuzamos szelők tétele szerint AE:BF=ME:MF=DE:CF, vagyis a P és Q pontok az AD és BC egyenesek között, az AD egyenestől ugyanakkora távolságra helyezkednek el, PQ tehát valóban párhuzamos az AD egyenessel.
 
 

2. ábra
 

 
Megjegyzés. Ha az ABCD trapéz átlóinak metszéspontja R, akkor R-nek az alapoktól való távolságainak az aránya is AD:BC=AE:BF, vagyis a PQ egyenesen R is rajta van. Tehát az M-en átmenő három egyenes, valamint az egymással párhuzamos AD és BC egyenesek által alkotott három trapéz átlóinak metszéspontjai egy AD-val párhuzamos egyenesen vannak.