Kezdőlap


Feladat:	B.3893	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szakács Nóra
Füzet:	2007/március, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Algebrai átalakítások, Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: B.3893

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A zárójeleket felbontva, az egyenletet zérusra rendezve és kiemeléseket végezve a következőket kapjuk:

\begin{matrix} x^{6} + y^{6} + 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} & = x^{6} + y^{6} - 2 x^{3} y^{3}, \\ 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + 2 x^{3} y^{3} & = 0, \\ x^{2} y^{2} (3 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x y) & = 0, \\ x^{2} y^{2} ({(x + y)}^{2} + 2 (x^{2} + y^{2})) & = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Három eset lehetséges:
1.

x^{2} = 0

, tehát

x = 0

, ekkor

y

értéke tetszőleges.
2.

y^{2} = 0

, tehát

y = 0

, ekkor

x

értéke tetszőleges.
3.

{(x + y)}^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} = 0

. A kifejezés három négyzetszám összege. Minden négyzetszám nemnegatív, ezért az összegük is csak akkor lesz 0, ha külön-külön mindegyik 0.

2 x^{2} = 0

, tehát

x = 0

;

2 y^{2} = 0

, vagyis

y = 0

. Ekkor

x + y = 0

is igaz, így

{(x + y)}^{2} = 0

is teljesül. Ez a megoldás viszont az 1. és a 2. esetben is benne van.
A megoldások:

x = 0

és

y

tetszőleges valós szám;

y = 0

és

x

tetszőleges valós szám.