Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tudjuk, hogy $1 + ctg^{2} x = \frac{1}{sin^{2} x}$ . Mivel $ctg x = sin x$ , azért

\begin{matrix} 1 + ctg^{2} x = \frac{1}{ctg^{2} x} . \end{matrix}

Rendezve:

ctg^{4} x + ctg^{2} x - 1 = 0

, amiből

\begin{matrix} ctg^{2} x = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}, illetve ctg^{2} x = \frac{- \sqrt[]{5} - 1}{2} . \end{matrix}

Ez utóbbi nem lehet, hiszen bármely szám négyzete nemnegatív.
Így

ctg^{2} x = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}

, ezért

\begin{matrix} ctg x = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}}, vagy ctg x = - \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}} . \end{matrix}

Természetesen az átalakításoknak csak akkor van értelme, ha

sin x \neq 0

, azaz

x \neq k π

(k \in Z)

, illetve

ctg x \neq 0

, vagyis

x \neq \frac{π}{2} + n π

(n \in Z)

. Könnyen látható, hogy ezek a ,,kikötések'' nem szűkítik a megoldások körét.