Kezdőlap


Feladat:	C.848	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2006/december, 539. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Gyökös függvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: C.848

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, ezért $2 \leq x \leq 3$ . A négyzetgyökök értéke sem negatív, így elegendő $y^{2} = {(\sqrt[]{x - 2} + \sqrt[]{3 - x})}^{2}$ legkisebb és legnagyobb értékét meghatározni.
Legyen $\sqrt[]{x - 2} = u$ és $\sqrt[]{3 - x} = v$ , ekkor az ${(u + v)}^{2} + {(u - v)}^{2} = 2 (u^{2} + v^{2})$ azonosság szerint

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x - 2} + \sqrt[]{3 - x})}^{2} + {(\sqrt[]{x - 2} - \sqrt[]{3 - x})}^{2} = 2 [(x - 2) + (3 - x)] = 2. \end{matrix}

Rendezés után az

\sqrt[]{x - 2} - \sqrt[]{3 - x} = z

jelölést bevezetve:

\begin{matrix} y^{2} = 2 - {(\sqrt[]{x - 2} - \sqrt[]{3 - x})}^{2} = 2 - z^{2} . \end{matrix}

y^{2}

akkor lesz a legnagyobb, ha

z^{2}

a legkisebb, azaz 0. Ez akkor teljesül, ha

x - 2 = 3 - x

, és innen

x = 2, 5

. Ezen a helyen

z = 0

y^{2} = 2

, tehát

y

legnagyobb értéke

\sqrt[]{2}

.
A legkisebb érték meghatározásához tekintsük az

y^{2}

kifejezést:

\begin{matrix} y^{2} = (x - 2) + (3 - x) + 2 \sqrt[]{(x - 2) (3 - x)} = 1 + 2 \sqrt[]{(x - 2) (3 - x)} \end{matrix}

alakban. A négyzetgyök definíciója szerint a második tag nem negatív, ezért

y^{2} \geq 1

. Ez lehetséges is, ha a második tag 0, azaz

x = 2

vagy

x = 3

. Ezeken a helyeken veszi fel a kifejezés a legkisebb értéket, és ez

\sqrt[]{1} = 1

Megjegyzés. Ha bevezetjük a

t = 2, 5 - x

változót, akkor

| t | \leq \frac{1}{2}

és a kifejezés az új változónak pozitív értékű páros függvénye:

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 2} + \sqrt[]{3 - x} = \sqrt[]{\frac{1}{2} + t} + \sqrt[]{\frac{1}{2} - t} = f (t) . \end{matrix}

f

és

f^{2}

egyszerre minimális és maximális,

f^{2} (t) = 1 + 2 \sqrt[]{\frac{1}{4} - t^{2}}

, ez pedig a

[0; \frac{1}{2}]

intervallumban a

t

változó szigorúan monoton fogyó függvénye:

f^{2} (0) = 2 \geq f^{2} (t) \geq f^{2} (\frac{1}{2}) = 1

, tehát a szóban forgó kifejezés legkisebb értéke 1 (ha

| t | = \frac{1}{2}

, azaz

x = 2

vagy

x = 3

), legnagyobb értéke pedig

\sqrt[]{2}

(ha

t = 0

, azaz

x = \frac{5}{2}