Kezdőlap


Feladat:	C.847	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Judit
Füzet:	2006/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszögek geometriája, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: C.847

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait, oldalait, szögeit a szokásos módon (a derékszög a $C$ csúcsnál van). Legyen $A C = 4$ és $B C = 3$ . Azt állítjuk, hogy a keresett egyenes nem mehet át a háromszög egyik csúcsán sem. A csúcson áthaladó egyenes ugyanis a háromszöget két olyan háromszögre bontja, amelyek magassága egyenlő. Ha még a területük is egyenlő, akkor az alapjuk is egyenlő, de akkor a kerületek nem egyenlők (1. ábra).

1. ábra

A keresett egyenes vagy egy befogót és egy átfogót metsz (2. ábra), vagy két befogót (3. ábra), mindkét esetben egy háromszögre és egy négyszögre bontja a derékszögű háromszöget.

2. ábra

3. ábra

Az első esetben jelöljük a lemetszett szakaszokat

x

-szel és

y

-nal a 2. ábra szerint. A derékszögű háromszög területe:

t = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6

, kerülete:

k = 3 + 4 + 5 = 12

. A lemetszett háromszög területe a feltétel szerint:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{x y sin β}{2} = 3, vagy \frac{x y sin α}{2} = 3. \end{matrix}

Írjuk be

sin β = \frac{4}{5}

és

sin α = \frac{3}{5}

értékét:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{x \cdot y \cdot \frac{4}{5}}{2} = \frac{4 x y}{10} = 3, illetve \frac{x \cdot y \cdot \frac{3}{5}}{2} = \frac{3 x y}{10} = 3. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x y = \frac{15}{2} \end{matrix}

(1)

illetve

\begin{matrix} x y = 10. \end{matrix}

(2)

A kerületekre fennálló egyenlőségek miatt:

x + y = 6

. Ezt az (1) egyenletbe helyettesítve a

2 x^{2} - 12 x + 15 = 0

másodfokú egyenlethez jutunk. Innen

\begin{matrix} x = \frac{12 \pm \sqrt[]{144 - 120}}{4} = {\begin{matrix} \frac{6 + \sqrt[]{6}}{2} \approx 4, 22 > 3 : nem megoldás, \\ \frac{6 - \sqrt[]{6}}{2} \approx 1, 78 és y = \frac{6 + \sqrt[]{6}}{2} \approx 4, 22 : megoldás. \end{matrix} \end{matrix}

A (2) egyenletből

x^{2} - 6 x + 10 = 0

. Ennek az egyenletnek negatív a diszkriminánsa, így nincs megoldása.
Ha az egyenes a két befogót metszi, akkor

\begin{matrix} \frac{x y}{2} = 3, x + y = 6. \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása:

{x; y} = {3 - \sqrt[]{3}; 3 + \sqrt[]{3}}

. A két szám közül a nagyobbik 4-nél nagyobb, így nem kapunk megoldást.
A feladatnak tehát egy megoldása van; ekkor az egyenes a rövidebbik befogót és az átfogót metszi, a kiszámított módon.