Kezdőlap


Feladat:	C.845	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szilágyi Lilla Ráchel
Füzet:	2006/november, 478 - 479. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Algebrai átalakítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/március: C.845

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Alkalmazzuk a következő azonosságokat:

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}), illetve a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}), \end{matrix}

majd végezzük el a műveleteket az egyszerűsítendő törtben:

\begin{matrix} \frac{{(x + 2)}^{3} + {(y + x)}^{3}}{{(x + 2)}^{3} - {(y - 2)}^{3}} = \frac{(x + 2 + y + x) \cdot [{(x + 2)}^{2} - (x + 2) (y + x) + {(y + x)}^{2}]}{(x + 2 - y + 2) \cdot [{(x + 2)}^{2} + (x + 2) (y - 2) + {(y - 2)}^{2}]} = \\ = \frac{(2 x + y + 2) (x^{2} + 4 x + 4 - x y - x^{2} - 2 y - 2 x + y^{2} + 2 x y + x^{2})}{(x - y + 4) (x^{2} + 4 x + 4 + x y + 2 y - 2 x - 4 + y^{2} - 4 y + 4)} = \\ = \frac{2 x + y + 2}{x - y + 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 4 + x y - 2 y + y^{2}}{x^{2} + 2 x + 4 + x y - 2 y + y^{2}} = \frac{2 x + y + 2}{x - y + 4} . \end{matrix}

Ági ,,vicce bejött'', a végeredmény jó. Természetesen általában nem lehet így egyszerűsíteni.

Megjegyzések. 1. Szilágyi Lilla azt is észrevette, hogy Ági akkor is ,,viccelődhetett'' volna, ha a 2-es helyett tetszőleges

b

szerepel a feladatban:

\begin{matrix} \frac{{(x + b)}^{3} + {(y + x)}^{3}}{{(x + b)}^{3} - {(y - b)}^{3}} \\ = & \frac{(x + b + y + x) \cdot (x^{2} + 2 b x + b^{2} - x y - b y - x^{2} - b x + y^{2} + 2 x y + x^{2})}{(x + b - y + x) \cdot (x^{2} + 2 b x + b^{2} + x y + b y - b x - b^{2} + y^{2} - 2 x y + b^{2})} = \\ = & \frac{2 x + y + b}{x - y + 2 b} \cdot \frac{x^{2} + b x + b^{2} + x y - b y + y^{2}}{x^{2} + b x + b^{2} + x y - b y + y^{2}} = \frac{2 x + y + b}{x - y + 2 b} . \end{matrix}

Az ilyen átalakítás lehetősége azon múlik, hogy

\begin{matrix} \frac{A^{3} + B^{3}}{A^{3} - {(B - A)}^{3}} = \frac{A + B}{A - (B - A)} = \frac{A + B}{2 A - B} . \end{matrix}

2. A feladat szövege megmozgatta a megoldók fantáziáját. Voltak akik azt is észrevételezték, hogy április elseje szombatra esett, így Ágiék nem gyakorolhatták az algebrai átalakításokat matematikaórán. Természetesen ezek a megjegyzések nem helytállók, hiszen a feladat szövegéből nem derült ki, hogy az órára melyik évben került sor.