Kezdőlap


Feladat:	B.3966	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cseh Ágnes
Füzet:	2007/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinációk, Sakk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: B.3966

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a lányok számát $L$ , a fiúkét pedig $F$ . A lányok egymás között összesen $(\binom{L}{2})$ partit játszottak. Mivel minden mérkőzésen pontosan $1$ pontot osztanak ki, ezért lányok lányok ellen összesen $(\binom{L}{2})$ pontot szereztek. Így a feladat feltétele szerint a lányok a fiúk elleni játékokon is összesen $(\binom{L}{2})$ pontot kaptak. Ehhez teljesen hasonlóan, a fiúk pedig összesen $(\binom{F}{2})$ pontot szereztek lányok ellen. Mivel $L F$ lány‐fiú mérkőzés volt, azért

\begin{matrix} L F = (\binom{L}{2}) + (\binom{F}{2}), \end{matrix}

ahonnan

2 L F = L (L - 1) + F (F - 1)

. A kapott egyenlőségből a versenyen résztvevő fiúk és lányok száma együttesen

L + F = L^{2} + F^{2} - 2 L F = {(L - F)}^{2}

, tehát valóban négyzetszám.