Kezdőlap


Feladat:	B.3955	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kunovszki Péter
Füzet:	2007/december, 535 - 536. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: B.3955

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzés. A feladat pontatlanul lett megfogalmazva. A szövegből nem derül ki, hogy egy helyszínt többször is kisorsolhatnak, vagy sem. A versenyzők többsége úgy oldotta meg a feladatot, hogy egy helyszínt többször is kisorsolnak, az alábbi megoldás is ilyen. Voltak, akik úgy is megoldották a feladatot, hogy a II.‐V. felvonások előtt egy helyszínt csak egyszer sorsolnak ki.

Megoldás. Annak az esélye, hogy egy adott felvonás előtt el kell ülnünk,

1 / 4

; annak az esélye, hogy nem kell elülnünk,

3 / 4

.
Azt, hogy a négy felvonásból melyik legyen az az egy, ami előtt költöznünk kell,

(\binom{4}{1}) = 4

-féleképpen lehet kiválasztani. Így

\begin{matrix} P_{egyszer költözünk} = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot {(\frac{3}{4})}^{3} = {(\frac{3}{4})}^{3} . \end{matrix}

Hasonlóan:

\begin{matrix} P_{kétszer költözünk} = (\binom{4}{2}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \frac{P_{kétszer költözünk}}{P_{egyszer költözünk}} = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} \cdot {(\frac{3}{4})}^{2}}{{(\frac{3}{4})}^{3}} = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{6 \cdot \frac{1}{4^{2}}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Tehát feleakkora annak a valószínűsége, hogy kétszer kell költöznünk, mint annak, hogy csak egyszer.