Kezdőlap


Feladat:	C.889	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Stumphauser Tímea
Füzet:	2007/december, 528 - 529. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkagúlák, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/február: C.889

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A csonkagúlát úgy kapjuk, hogy a gúlát az alappal párhuzamos síkkal elmetsszük. Az alaplapon az élek felezőpontja $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a fedőlapon pedig $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , ahogyan az ábra mutatja.

D B I

és

H F I

háromszögek hasonlóak, mert egy szögük azonos, a két másik szögük pedig egyállású, így minden megfelelő oldaluk aránya megegyezik. Felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{c} = \frac{m + x}{x} . \end{matrix}

Ugyanígy az

A C I

és az

E G I

háromszögek is hasonlók egymáshoz, így

\begin{matrix} \frac{b}{d} = \frac{m + x}{x} . \end{matrix}

Tehát

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

, azaz

a d = c b

.
Tudjuk, hogy a csonkagúla térfogata

V = \frac{m}{3} (T + \sqrt[]{T t} + t)

, ami most

\begin{matrix} V = \frac{m}{3} (a b + \sqrt[]{a b c d} + c d) \end{matrix}

alakban írható. Ezt alakítjuk:

\begin{matrix} V & = \frac{m}{6} (2 a b + \sqrt[]{a b c d} + \sqrt[]{a b c d} + 2 c d) = \frac{m}{6} (2 a b + \sqrt[]{a d a d} + \sqrt[]{c b c b} + 2 c d) = \\ = \frac{m}{6} (2 a b + a d + c b + 2 c d) = \frac{m}{6} [(2 a b + c b) + (2 c d + a d)] = \\ = \frac{m}{6} [(2 a + c) b + (2 c + a) d] . \end{matrix}

Tehát a képlet helyes, kiszámítható vele a csonkagúla térfogata.