Kezdőlap


Feladat:	C.884	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Székely Gergely
Füzet:	2007/december, 527 - 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: C.884

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A lehetséges dobások száma 6, a sikeres dobások: 3, 4, 5, 6. Annak valószínűsége, hogy egy dobás esetén ezek egyikét dobjuk: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . A sikertelen dobás valószínűsége $1 = \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .
Legyen $A$ az az esemény, amelyben két egymás utáni dobás közül legalább egy sikeres. Ennek valószínűsége helyett az $\bar{A}$ -ét ‐ vagyis annak valószínűségét, hogy mindkét dobás sikertelen ‐ számoljuk ki: $P (\bar{A}) = {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$ . Mivel a dobások eredménye egymástól független és a sikeres és sikertelen dobások bekövetkezése egymást kizárja, azért a valószínűségük összege 1. Azaz

\begin{matrix} P (A) = 1 - P (\bar{A}) = \frac{8}{9} . \end{matrix}

Ennyi annak a valószínűsége, hogy két dobásból legalább egy sikeres.
Legyen

B

az az esemény, hogy négy dobásból legalább kettő sikeres. Ekkor

\bar{B}

, a

B

ellentettje, akkor következik be, ha négy dobás esetén a sikeres dobások száma 0 vagy 1.
Annak valószínűsége, hogy négy dobásból egyik sem sikeres:

{(\frac{1}{3})}^{4} = \frac{1}{81}

. Négy dobásból 4-féleképpen lehet egy sikeres (ugyanis lehet a sikeres az első, vagy a második, és így tovább), ezért ennek valószínűsége:

\begin{matrix} 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{81} . \end{matrix}

Így a

\bar{B}

esemény valószínűsége:

\begin{matrix} P (\bar{B}) = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} P (B) = 1 - P (\bar{B}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} . \end{matrix}

Láthatjuk, hogy a két esemény valószínűsége egyenlő.