Kezdőlap


Feladat:	C.883	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Székely Gergely
Füzet:	2007/december, 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Pont körüli forgatás, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: C.883

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel a vályú hasáb alakú, ezért az eredeti és a kifolyt víz térfogatának aránya megegyezik a vályú keresztmetszetén látható $A B C$ és $A C F$ háromszögek területének arányával, ahol a $C F$ szakasz a víz szintjét mutatja a vályú $B$ körüli $(- α)$ szögű elforgatása után.

A következőnek kell teljesülnie:

\begin{matrix} T_{A F C} = \frac{A F \cdot m}{2} = \frac{1}{5} T_{A B C} = \frac{1}{5} \cdot \frac{a \cdot m}{2} . \end{matrix}

Innen

A F = \frac{a}{5}

.
Jelölje

T

a háromszög

C

-ből induló magasságának talppontját. Ekkor

A C T ∢ = 30^{\circ}

és

F T = \frac{a}{2} - \frac{a}{5} = \frac{3 a}{10}

. Az

F T C

háromszögben:

\begin{matrix} tg (30^{\circ} - α) = \frac{\frac{3}{10} a}{m} = \frac{\frac{3}{10} a}{\frac{\sqrt[]{3}}{2} a} = \frac{\sqrt[]{3}}{5}, \end{matrix}

ahonnan

30^{\circ} - α \approx 19, 1^{\circ}

, és így

α = 10, 9^{\circ}

. Tehát

10, 9^{\circ}

-kal kell megdönteni a vályút.

Megjegyzés. Sokan azt a hamis állítást használták fel, hogy az ötödölő pontokat a szemközti csúccsal összekötő szakaszok a szöget öt egyenlő részre osztják. Így

12^{\circ}

-ot kaptak eredményül, ami természetesen rossz. Az ő megoldásuk 2 pontot ér.