Kezdőlap


Feladat:	C.867	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Alexandra
Füzet:	2007/december, 525 - 526. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Hossz, kerület, Számsorozatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: C.867

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $e = 0, 5$ cm az egységhossz, ekkor az átló hossza: $\sqrt[]{2} \cdot e$ cm.
Körnek nevezzük a töröttvonal minden olyan részét, amely az $y$ tengely origó feletti részének két szomszédos pontja között halad (vagyis a töröttvonal $4 i$ . és $4 (i + 1)$ . pontja közötti részét).
Az 1. kör hossza: $h_{1} = 5 e + \sqrt[]{2} e = (5 + \sqrt[]{2}) e$ ,
a 2. köré: $h_{2} = 11 e + 3 \sqrt[]{2} e = (5 + \sqrt[]{2}) e + (6 + 2 \sqrt[]{2}) e$ ,
a 3. köré: $h_{3} = (5 + \sqrt[]{2}) e + 2 (6 + 2 \sqrt[]{2}) e$ ,
$⋮$
az $n$ -edik köré: $h_{n} = (5 + \sqrt[]{2}) e + (n - 1) (6 + 2 \sqrt[]{2}) e$ .
Az $1., ..., n$ -edik kör együttes hossza:

\begin{matrix} H_{n} & = h_{1} + ... + h_{n} = n (5 + \sqrt[]{2}) e + [1 + ... + (n - 1)] (6 + 2 \sqrt[]{2}) e = \\ = n (5 + \sqrt[]{2}) e + [\frac{(n - 1) n}{2}] (6 + 2 \sqrt[]{2}) e = \\ = ((5 + \sqrt[]{2}) n + \frac{6 + 2 \sqrt[]{2}}{2} n^{2} - \frac{6 + 2 \sqrt[]{2}}{2} n) e = ((3 + \sqrt[]{2}) n^{2} + 2 n) e . \end{matrix}

Mivel

8000 m = 800 000 cm

, a toll kifogyásához a

H_{n} \geq 800 000

cm egyenlőtlenséget kell vizsgálni:

\begin{matrix} (3 + \sqrt[]{2}) n^{2} + 2 n - 1 600 000 \geq 0. \end{matrix}

A zérushelyek:

n_{1} \approx 601, 82

n_{2} \approx - 602, 28

.
Az egyenlőtlenség legkisebb pozitív egész megoldása a 602, tehát a 602. kört már nem tudjuk befejezni, így 601 teljes kör írható a tollal.