Feladat: C.842 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2006/november, 477 - 478. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Testek szinezése, Kocka, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: C.842

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ahhoz, hogy 10-nél több kis kockából egy nagyobb tömör kockát kapjunk, legalább 27 kis kockát kell felhasználni. Ekkor egy 3×3×3-as nagy kockát kapunk. Fessük be a lapjait, és kezdjük el leválasztani a befestett lapokat.
Először vegyük el az ,,elülső'' és ,,hátsó'' 3×3-as réteget. A megmaradó 3×3-as rétegben már csak 1 festetlen kis kocka marad. Mivel 1∣26, itt teljesül, hogy a festett kockák száma többszöröse a festetlen kockák számának.

 
 

Általában, ha (n+2)3 számú kis kockából összerakunk egy nagy kockát és befestjük a lapjait, akkor a be nem festett kockák száma n3 lesz. Kérdés, mikor lesz n3 osztója az (n+2)3-n3-nek. Ha ez teljesül, akkor az is igaz, hogy n3 osztója az (n+2)3-nek, amiből következik, hogy n is osztója az (n+2)3-nek. Azaz n∣n3+6n2+12n+8. Ez csak úgy teljesülhet, ha n∣8, vagyis ha n=1, 2, 4 vagy 8.
Ha n=1, akkor n+2=3 és 33-13=27-1=26, ami valóban többszöröse 1-nek.
Ha n=2, n+2=4, (n+2)3-n3=64-8=56; most is igaz, hogy 8∣56.
Ha n=4, akkor n+2=6, (n+2)3-n3=216-64=152, most 64∤152. Ekkor nem kapunk megoldást.
Végül, ha n=8, akkor (n+2)3-n3=1000-512=488 és 512∤488.
Összesen tehát két olyan kocka van, amely megfelel a kívánalmaknak.
 
Megjegyzés. 1. A feladat kérdésének megválaszolásához elegendő volt megmutatni, hogy létezik a kívánalmaknak megfelelő festett kocka.
2. A számelmélet alaptételéből (a prímtényezős alak egyértelműségéből) következik, hogy n3 pontosan akkor osztója (n+2)3-nek, ha n∣n+2, azaz n∣2. Ebből látszik, hogy n értéke csak 1 vagy 2 lehet.