Feladat: C.840 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hotzi Bernadette 
Füzet: 2006/október, 406. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: C.840

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az 5000 Ft felváltásához a forgalomban lévő bankjegyek közül felhasználhatók a 2000, 1000, 500 és 200 Ft címletek. Jelöljük ezek számát az összegben rendre a, b, c és d-vel. Tudjuk, hogy a+b+c+d=10, és

2000a+1000b+500c+200d=5000.
Egyszerűsítsünk 100-zal:
20a+10b+5c+2d=50.(1)
Innen látható, hogy d osztható kell hogy legyen 5-tel, ezért d értéke 0; 5 vagy 10.
Ha d=10, akkor a, b és c nulla kell hogy legyen. Mivel 10⋅200=2000 nem megoldás azért d vagy 0, vagy 5.
Legyen d=0 és osszuk az (1) egyenlőséget 5-tel:
4a+2b+c=(a+b+c)+3a+b=10.(2)
Mivel a+b+c=10, innen 3a+b=0; a≥0, b≥0 miatt csak a=b=0 lehetséges. Ekkor (2)-ből c=10. Ez megoldás, mert 10⋅500=5000.
Ha d=5, akkor (1)-ből 20a+10b+5c=40. Egyszerűsítsünk 5-tel, és írjunk a+b+c helyébe 5-öt:
4a+2b+c=(a+b+c)+3a+b=5+3a+b=8,
innen 3a+b=3, azaz vagy a=1 és b=0, vagy a=0 és b=3. Ha a=1, b=0 és d=5, akkor c=4. A kapott felbontás:
1⋅2000+4⋅500+5⋅200=5000.
Ha a=0, b=3 és d=5, akkor c=2 és
3⋅1000+2⋅500+5⋅200=5000.
A felhasználható bankjegyekkel összesen háromféleképpen tudunk 5000 Ft-ot kifizetni.