Kezdőlap


Feladat:	B.3878	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2006/október, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: B.3878

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az első egyenletből $z$ -t kifejezve és a második egyenletbe helyettesítve a műveletek elvégzése után $x^{2} + y^{2} + x y = 50$ adódik. Ha szorzunk a feltételezés szerint racionális $x$ és $y$ nevezőjének a négyzetével, akkor innen

\begin{matrix} X^{2} + Y^{2} + X Y = 50 Z^{2} \end{matrix}

(1)

adódik, ahol

X

Y

, és

Z

már egész számok és van köztük nullától különböző.
Megmutatjuk, hogy az (1) egyenletnek nincsen a triviális

X = Y = Z = 0

számhármastól különböző megoldása az egész számok körében, innen pedig a feladat állítása következik. Ehhez a 3-mal való oszthatóság, illetve az ilyenkor fellépő maradékok szerint vizsgáljuk (1) két oldalát. Azt bizonyítjuk be, hogy amennyiben (1) teljesül, akkor

X

Y

és

Z

is osztható 3-mal. Ez már elég, ugyanis (1)-ben minden tag másodfokú, tehát 9-cel egyszerűsítve ugyanilyen alakú egyenlethez jutunk. Erre az egyenletre a fenti lépést újra és újra megismételve végül az adódik, hogy az (1) egyenlet megoldásai a 3-nak tetszőleges kitevőjű hatványával oszthatók; szükségképpen nullával egyenlők.
Azt kell tehát igazolnunk, hogy ha az

X

Y

Z

egészekre teljesül (1), akkor

3 ∣ X

3 ∣ Y

és

3 ∣ Z

. Az egyenletet

{(X - Y)}^{2} + 3 X Y = 48 Z^{2} + 2 Z^{2}

alakba írva látható, hogy

{(X - Y)}^{2}

és

2 Z^{2}

egyenlő maradékot adnak 3-mal osztva. Ismeretes, hogy egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, ez tehát csak úgy lehetséges, ha

X - Y

és

Z

is osztható 3-mal. Mivel

3 X Y = 50 Z^{2} - {(X - Y)}^{2}

és a jobb oldal osztható 9-cel is, azért innen

9 ∣ 3 X Y

, azaz

3 ∣ X Y

következik. Mivel a 3 prímszám,

X

és

Y

egyike osztható 3-mal. Ennyi viszont már elég, láttuk ugyanis, hogy

X - Y

osztható 3-mal, így ha egyikük a 3 többszöröse, akkor a másikuk is az. Beláttuk tehát, hogy ha (1) teljesül, akkor

3 ∣ X

3 ∣ Y

és

3 ∣ Z

, a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzés. Érdemes a feladat egyenletrendszerének a jelentését is szemügyre venni. Az első egyenlet egy origón átmenő sík, a második pedig egy origó középpontú 10 egység sugarú gömb egyenlete. A két megoldáshalmaz közös része tehát egy origó középpontú 10 egység sugarú kör a térben, a feladat állítása szerint ezen a körön nincsen olyan pont, amelynek valamennyi koordinátája racionális.