Kezdőlap


Feladat:	C.837	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kunos Ádám
Füzet:	2006/október, 403 - 404. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvex sokszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: C.837

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel egy $n$ oldalú sokszög belső szögeinek az összege $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ , azért a 2006 oldalú sokszögé $2004 \cdot 180^{\circ}$ , így a sokszögnek nem lehet 2004, vagy annál több olyan szöge, amely nagyobb $180^{\circ}$ -nál.

Megmutatjuk, hogy 2003 ilyen szöge viszont már lehet. Vegyünk fel a síkban három pontot,

A

-t,

B

-t és

C

-t, rajzoljuk meg az általuk meghatározott háromszög két oldalát (

A C

-t és

B C

-t), a harmadik oldala (

A B

) fölé pedig rajzoljunk úgy egy körívet, hogy az a három pont által meghatározott háromszögön belül haladjon. Ilyen körív könnyen rajzolható. Ezután vegyünk fel a köríven 2003 pontot, és a szomszédosakat kössük össze (a két szélsőt

A

-val, illetve

B

-vel). Így egy olyan sokszöget kapunk, melynek három csúcsánál,

A

-nál,

B

-nél és

C

-nél lévő szöge kisebb

180^{\circ}

-nál, a további kétezerhárom csúcsnál lévő belső szög pedig nagyobb, mint

180^{\circ}