Kezdőlap


Feladat:	C.836	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Korom Vellás Judit
Füzet:	2006/november, 476 - 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Százalékszámítás, Szöveges feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: C.836

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje $y$ az egy csomag szerpentin, $x$ az egy csomag konfetti árát. A feladat szövege alapján a következő egyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} x (1 + \frac{p}{100}) & = y, & (1) \\ y (1 - \frac{q}{100}) & = x & (2) \end{matrix}

és

\begin{matrix} | p - q | = 90. \end{matrix}

(3)

Legyen

\frac{p}{100} = a

és

\frac{q}{100} = b

. Az egyenletrendszerből kapjuk, hogy

y (1 - b) (1 + a) = y

, innen

\begin{matrix} a - b - a b = 0. \end{matrix}

(4)

1) Ha

p > q

, akkor

p - q = 100 a - 100 b = 90

. Ebből

a - b = 0, 9

, vagyis

a = 0, 9 + b

. Írjuk be ezt a (4) egyenletbe:

\begin{matrix} 0, 9 - b (0, 9 + b) = 0, \\ b^{2} + 0, 9 b - 0, 9 = 0, \\ b = \frac{- 0, 9 \pm \sqrt[]{0, 81 + 3, 6}}{2} = \frac{- 0, 9 \pm 2, 1}{2}, b_{1} = 0, 6, b_{2} < 0, \end{matrix}

így

\begin{matrix} b & = \frac{q}{100} = 0, 6, & q & = 60, \\ a & = \frac{p}{100} = 0, 9 + 0, 6 = 1, 5, & p & = 150. \end{matrix}

2) Ha

q > p

, akkor

q - p = 90

. Így

100 b - 100 a = 90

, azaz

b = a + 0, 9

. A (4) egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} a^{2} + 0, 9 a + 0, 9 = 0, a = \frac{- 0, 9 \pm \sqrt[]{0, 81 - 3, 6}}{2} . \end{matrix}

Mivel a diszkrimináns negatív, nincs valós megoldása az egyenletnek, tehát csak az előbbi eset állhat fenn.
A (2) egyenletből

\begin{matrix} x = y (1 - \frac{60}{100}) = \frac{4}{10} y . \end{matrix}

A 10 csomag konfetti árából

\frac{10 x}{y} = \frac{4 y}{y} = 4

csomag szerpentint tudunk vásárolni.